Lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari 1 yang digambar mengelilingi titik (0, 0). Kelihatannya seperti satu lagi tabel yang harus dihafal, padahal sebenarnya hanya satu ide. Begitu kamu memahami ide itu, kamu bisa menyusun ulang setiap nilai pada lingkaran dalam beberapa detik, tanpa menghafal daftar angka yang panjang.
Apa itu lingkaran satuan?
Lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari tepat 1 dan pusatnya di titik asal (0, 0). Setiap sudut, yang diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif, jatuh pada satu titik di lingkaran. Titik itu selalu memiliki koordinat (cos θ, sin θ). Jadi koordinat x adalah kosinus sudut tersebut dan koordinat y adalah sinusnya.
Contoh
Ambil sudut 30°. Tarik garis dari pusat dengan sudut 30° di atas sumbu x sampai menyentuh lingkaran. Titik tempat garis itu berhenti adalah (√3/2, 1/2), yaitu kira-kira (0,866; 0,5). Titik itu memberi tahu dua hal sekaligus. Kosinus 30° adalah √3/2 dan sinus 30° adalah 1/2.
Setiap titik pada lingkaran juga memenuhi persamaan x² + y² = 1. Coba periksa dengan titik 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Persamaan ini sebenarnya adalah teorema Pythagoras dalam bentuk lain, karena jari-jari adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku dengan sisi x dan y.
Mengapa kosinus adalah koordinat x dan sinus adalah koordinat y?
Banyak pelajar hafal SINDEMI COSAMI TANDESA, tetapi tidak melihat apa hubungannya dengan lingkaran. Gambarlah segitiga siku-siku di dalam lingkaran, dengan jari-jari sebagai sisi terpanjangnya (hipotenusa). Sisi bawahnya terletak di sepanjang sumbu x dan sisi tegaknya naik sampai ke titik pada lingkaran.
Kosinus adalah sisi samping dibagi hipotenusa. Pada lingkaran satuan hipotenusanya 1, jadi kosinus hanyalah panjang sisi bawah, yaitu koordinat x. Dengan cara yang sama, sinus adalah sisi depan dibagi 1, yaitu tingginya, atau koordinat y. Lingkaran ini hanya menghilangkan pembagiannya.
Mengapa lingkaran satuan memakai radian?
Lingkaran satuan memakai radian karena, dengan jari-jari 1, besar sudut dalam radian sama persis dengan panjang busur yang kamu tempuh di sepanjang lingkaran. Satu putaran penuh adalah 360°, dan keliling penuh lingkaran adalah 2π. Jadi 360° sama dengan 2π radian, dan 180° sama dengan π radian.
Contoh
Untuk mengubah derajat menjadi radian, kalikan dengan π lalu bagi dengan 180. Untuk 60°, hasilnya 60 × π / 180 = π/3. Untuk kembali, kalikan dengan 180 lalu bagi dengan π. Jadi π/4 radian adalah 180 / 4 = 45°.
Sudut seperti π/8 sering membingungkan pelajar karena tidak muncul di tabel standar. Triknya adalah berpikir dalam pecahan dari setengah putaran. π adalah setengah putaran, π/4 adalah seperempat dari setengah putaran itu (45°), dan π/8 adalah setengah dari π/4, yaitu 22,5°. Letakkan sudut itu tepat di tengah antara 0 dan titik 45°.
Radian juga penting di kemudian hari. Dalam kalkulus, aturan untuk sinus dan kosinus hanya berlaku serapi ini jika sudut dinyatakan dalam radian. Itulah sebabnya guru beralih ke radian begitu lingkaran satuan muncul.
Bagaimana cara mengingat lingkaran satuan tanpa menghafalnya?
Kamu hanya perlu nilai untuk 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Semua nilai lain pada lingkaran adalah bayangan cermin dari kelima sudut ini. Di bawah ini ada tiga cara untuk menyusunnya kembali, dan tidak satu pun bergantung pada kalimat dalam bahasa tertentu. Pilih yang terasa paling alami.
Susun ulang dari dua segitiga
Potong sebuah persegi sepanjang diagonalnya, dan kamu mendapat segitiga siku-siku dengan dua sudut 45°, sehingga kedua sisi pendeknya sama panjang. Buat sisi terpanjangnya 1, seperti jari-jari. Kedua sisi pendek itu harus memenuhi x² + y² = 1, dan karena x = y, masing-masing bernilai √2/2. Jadi titik 45° adalah (√2/2, √2/2).
Sekarang gambarlah segitiga sama sisi dengan sisi 2 lalu potong menjadi dua. Kamu mendapat segitiga dengan sudut 30°, 60°, dan 90°, dengan sisi 1, √3, dan 2. Bagi setiap sisi dengan 2 agar sisi terpanjangnya menjadi 1. Sisinya sekarang 1/2, √3/2, dan 1, dan itu memberimu titik untuk 30° dan 60°.
Gunakan pola akar kuadrat
Tulis angka 0, 1, 2, 3, 4 di bawah sudut 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Ambil akar kuadrat dari setiap angka lalu bagi dengan 2. Baris itu memberimu sinus setiap sudut. Baca baris yang sama dari belakang untuk mendapat kosinusnya.
- Sinus untuk 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Kosinus untuk sudut yang sama: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Hitung dengan tanganmu
Angkat tangan kirimu dengan telapak menghadap ke arahmu. Ibu jarimu mewakili 90°, lalu jari telunjuk 60°, jari tengah 45°, jari manis 30°, dan jari kelingking 0°. Untuk mencari nilai sebuah sudut, tekuk jarinya.
Hitung jari di sisi kelingking dari jari yang ditekuk, ambil akar kuadrat dari jumlah itu, lalu bagi dengan 2. Hasilnya adalah sinus. Jari di sisi ibu jari memberi kosinus dengan cara yang sama.
Untuk 30°, tekuk jari manismu. Ada satu jari (kelingking) di sisi kelingkingnya, jadi sinusnya √1/2 = 1/2. Ada tiga jari di sisi ibu jarinya, jadi kosinusnya √3/2.
Setiap cara menghasilkan lima titik yang sama. Beberapa ronde dalam permainan trigonometri dengan cepat menunjukkan apakah kamu bisa mengingat nilai sinus dan kosinus di bawah sedikit tekanan waktu. Latihan singkat yang sering seperti ini membuat nilai-nilainya jauh lebih melekat daripada satu sesi panjang.
Apakah kamu perlu menghafal seluruh lingkaran satuan?
Tidak. Kamu perlu kuadran pertama (0° sampai 90°) dan cara yang andal untuk mencerminkannya. Pelajar yang menghafal seluruh tabel untuk ujian sering lupa beberapa minggu kemudian. Pelajar yang memahami segitiga dan pencerminannya bisa menyusunnya kembali kapan saja, dan itulah yang sebenarnya dibutuhkan topik selanjutnya seperti kalkulus.
Bagaimana tanda berubah di setiap kuadran?
Lingkaran memiliki empat kuadran. Di setiap kuadran, besar koordinatnya sama dengan koordinat sebuah sudut di kuadran pertama, dan hanya tandanya yang berubah. Di kuadran pertama, x dan y sama-sama positif. Di kuadran kedua, x negatif. Di kuadran ketiga, keduanya negatif. Di kuadran keempat, y negatif.
Contoh
Cari titik untuk 150°. Sudut ini berada di kuadran kedua, 30° sebelum 180°. Jadi titiknya adalah bayangan cermin titik 30° terhadap sumbu y. Titik 30° adalah (√3/2, 1/2). Mencerminkannya membuat koordinat x menjadi negatif, jadi titik 150° adalah (−√3/2, 1/2).
- Kuadran pertama (0° sampai 90°): x positif, y positif
- Kuadran kedua (90° sampai 180°): x negatif, y positif
- Kuadran ketiga (180° sampai 270°): x negatif, y negatif
- Kuadran keempat (270° sampai 360°): x positif, y negatif
Cara cepat untuk mengecek adalah membayangkan titik itu pada grafik biasa. Di kiri sumbu y berarti x negatif, dan di bawah sumbu x berarti y negatif. Kamu tidak perlu menghafal daftar ini jika bisa membayangkan letak titiknya.
Apa itu tan pada lingkaran satuan?
Tangen sebuah sudut adalah koordinat y dibagi koordinat x, jadi tan θ = sin θ / cos θ. Untuk 60°, hasilnya (√3/2) ÷ (1/2) = √3, kira-kira 1,732. Pada 90° dan 270° koordinat x-nya 0, dan kamu tidak bisa membagi dengan 0, jadi tangen tidak terdefinisi pada sudut-sudut itu.
Untuk apa lingkaran satuan digunakan?
Lingkaran satuan adalah alasan sinus dan kosinus berlaku untuk sudut apa pun, bukan hanya sudut di dalam segitiga siku-siku. Karena itu, lingkaran satuan menjadi dasar untuk segala sesuatu yang berulang atau berputar. Gelombang suara, gelombang cahaya, arus bolak-balik, gerak bandul, dan jarum jam semuanya dijelaskan dengan sinus dan kosinus.
Contoh
Bayangkan sebuah titik bergerak mengelilingi lingkaran dengan kecepatan tetap. Tingginya naik sampai 1, turun sampai −1, lalu kembali lagi, dalam gelombang yang mulus. Gambarkan tinggi itu terhadap waktu, dan kamu mendapat grafik fungsi sinus. Para insinyur memakai ide yang persis sama untuk menggambarkan getaran, dan pengembang gim serta animasi memakainya untuk memutar objek di layar.
Satu kuadran dan dua segitiga memberimu seluruh lingkaran
Berikut sudut-sudut utama beserta koordinatnya. Gunakan daftar ini sebagai acuan, tetapi cobalah menyusun ulang setiap baris dengan segitiga atau trik tangan sebelum melihatnya.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = tidak terdefinisi
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = tidak terdefinisi
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Jika sebuah baris terasa sulit, kembalilah ke kuadran pertama, cari sudut yang sesuai, dan tentukan tandanya dari kuadrannya. Satu kebiasaan itu menggantikan seluruh daftar.
Latih ini berikutnya