A circunferencia goniométrica é unha circunferencia de raio 1 debuxada arredor do punto (0, 0). Parece unha táboa máis para aprender de memoria, pero en realidade é unha soa idea. Cando ves esa idea, podes reconstruír calquera valor da circunferencia en poucos segundos, sen memorizar unha longa lista de números.
Que é a circunferencia goniométrica?
A circunferencia goniométrica é unha circunferencia de raio exactamente 1 co centro na orixe (0, 0). Cada ángulo, medido en sentido antihorario desde a parte positiva do eixe x, cae nun punto da circunferencia. Ese punto ten sempre as coordenadas (cos θ, sen θ). Así, a coordenada x é o coseno do ángulo e a coordenada y é o seno.
Exemplo
Colle un ángulo de 30°. Traza unha liña desde o centro a 30° por riba do eixe x ata que toque a circunferencia. O punto onde cae é (√3/2, 1/2), que é aproximadamente (0,866; 0,5). Iso dícheche dúas cousas á vez. O coseno de 30° é √3/2 e o seno de 30° é 1/2.
Todo punto da circunferencia cumpre tamén a ecuación x² + y² = 1. Compróbao co punto de 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Esta ecuación é o teorema de Pitágoras disfrazado, porque o raio é o lado longo dun triángulo rectángulo de lados x e y.
Por que o coseno é a coordenada x e o seno a coordenada y?
Moitos estudantes coñecen as razóns seno, coseno e tanxente, pero non ven que pinta a circunferencia en todo isto. Debuxa un triángulo rectángulo dentro da circunferencia, co raio como lado máis longo (a hipotenusa). O lado de abaixo vai ao longo do eixe x e o lado vertical sobe ata o punto da circunferencia.
O coseno é o cateto contiguo dividido entre a hipotenusa. Na circunferencia goniométrica a hipotenusa mide 1, así que o coseno é simplemente a lonxitude do lado de abaixo, que é a coordenada x. Do mesmo xeito, o seno é o cateto oposto dividido entre 1, que é a altura, ou sexa, a coordenada y. A circunferencia simplemente elimina a división.
Por que a circunferencia goniométrica usa radiáns?
A circunferencia goniométrica usa radiáns porque, cun raio de 1, o ángulo en radiáns é exactamente a lonxitude do arco que percorres arredor da circunferencia. Unha volta completa son 360°, e a lonxitude total da circunferencia é 2π. Así que 360° equivalen a 2π radiáns, e 180° equivalen a π radiáns.
Exemplo
Para pasar de graos a radiáns, multiplica por π e divide entre 180. Para 60°, iso dá 60 × π / 180 = π/3. Para volver, multiplica por 180 e divide entre π. Así, π/4 radiáns son 180 / 4 = 45°.
Ángulos como π/8 adoitan confundir porque non aparecen na táboa habitual. O truco é pensar en fraccións de media volta. π é media volta, π/4 é a cuarta parte desa media volta (45°), e π/8 é a metade de π/4, é dicir, 22,5°. Colócalo a medio camiño entre 0 e o punto de 45°.
Os radiáns tamén importan máis adiante. En cálculo, as regras do seno e do coseno só funcionan así de ben cando os ángulos están en radiáns. Por iso o profesorado pasa aos radiáns en canto aparece a circunferencia goniométrica.
Como lembrar a circunferencia goniométrica sen memorizala?
Só necesitas os valores de 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Todo o demais na circunferencia é un reflexo destes cinco. Velaquí tres xeitos de reconstruílos, e ningún depende dunha frase nunha lingua concreta. Escolle o que che resulte máis natural.
Reconstrúea a partir de dous triángulos
Corta un cadrado pola súa diagonal e obtés un triángulo rectángulo con dous ángulos de 45°, así que os seus dous catetos son iguais. Fai que o lado longo mida 1, como o raio. Os dous catetos teñen entón que cumprir x² + y² = 1, e con x = y iso significa que cada un mide √2/2. Así, o punto de 45° é (√2/2, √2/2).
Agora debuxa un triángulo equilátero de lado 2 e córtao pola metade. Obtés un triángulo con ángulos de 30°, 60° e 90°, de lados 1, √3 e 2. Divide cada lado entre 2 para que o lado longo pase a medir 1. Os lados son agora 1/2, √3/2 e 1, que che dan os puntos de 30° e 60°.
Usa o patrón das raíces cadradas
Escribe os números 0, 1, 2, 3, 4 debaixo dos ángulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Calcula a raíz cadrada de cada número e divide entre 2. Esa fila dáche o seno de cada ángulo. Le a mesma fila ao revés para o coseno.
- Seno para 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Coseno para os mesmos ángulos: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Cóntaa coa man
Levanta a man esquerda, coa palma cara a ti. O polgar representa 90°, o índice 60°, o dedo medio 45°, o anular 30° e o maimiño 0°. Para atopar os valores dun ángulo, baixa o seu dedo.
Conta os dedos que quedan do lado do maimiño respecto do dedo baixado, calcula a raíz cadrada dese número e divide entre 2. Iso dá o seno. Os dedos do lado do polgar dan o coseno do mesmo xeito.
Para 30°, baixa o anular. Hai un dedo (o maimiño) do lado do maimiño, así que o seno é √1/2 = 1/2. Hai tres dedos do lado do polgar, así que o coseno é √3/2.
Cada método dá os mesmos cinco puntos. Unhas cantas partidas no xogo de trigonometría mostran axiña se lembras os valores do seno e do coseno cun pouco de presión de tempo. A práctica curta e frecuente coma esta fixa os valores moito mellor ca unha sesión longa.
Hai que memorizar a circunferencia goniométrica enteira?
Non. Necesitas o primeiro cuadrante (de 0° a 90°) e unha forma fiable de reflectilo. Quen memoriza a táboa completa para un exame adoita esquecela poucas semanas despois. Quen entende os triángulos e os reflexos pode reconstruíla en calquera momento, e iso é o que piden de verdade temas posteriores como o cálculo.
Como cambian os signos en cada cuadrante?
A circunferencia ten catro cuadrantes. En cada un, o tamaño das coordenadas coincide co dun ángulo do primeiro cuadrante, e só cambian os signos. No primeiro cuadrante x e y son positivas. No segundo, x é negativa. No terceiro, as dúas son negativas. No cuarto, y é negativa.
Exemplo
Busca o punto de 150°. Está no segundo cuadrante, a 30° de 180°. Polo tanto, é o reflexo do punto de 30° respecto do eixe y. O punto de 30° é (√3/2, 1/2). Ao reflectilo, a coordenada x vólvese negativa, así que o punto de 150° é (−√3/2, 1/2).
- Primeiro cuadrante (de 0° a 90°): x é positiva, y é positiva
- Segundo cuadrante (de 90° a 180°): x é negativa, y é positiva
- Terceiro cuadrante (de 180° a 270°): x é negativa, y é negativa
- Cuarto cuadrante (de 270° a 360°): x é positiva, y é negativa
Unha comprobación rápida é imaxinar o punto nunha gráfica normal. Á esquerda do eixe y significa que x é negativa, e por debaixo do eixe x significa que y é negativa. Non tes que memorizar esta lista se podes imaxinar onde está o punto.
Que é a tanxente na circunferencia goniométrica?
A tanxente dun ángulo é a coordenada y dividida entre a coordenada x, así que tan θ = sen θ / cos θ. Para 60°, iso é (√3/2) ÷ (1/2) = √3, aproximadamente 1,732. En 90° e 270° a coordenada x é 0, e non se pode dividir entre 0, así que a tanxente non está definida neses ángulos.
Para que serve a circunferencia goniométrica?
A circunferencia goniométrica é a razón de que o seno e o coseno funcionen para calquera ángulo, non só para os ángulos dun triángulo rectángulo. Iso convértea na base de todo o que se repite ou xira. As ondas sonoras, as ondas de luz, a corrente alterna, o movemento dun péndulo e as agullas dun reloxo descríbense co seno e o coseno.
Exemplo
Imaxina un punto que se move arredor da circunferencia a velocidade constante. A súa altura sobe ata 1, baixa ata −1 e volve, nunha onda suave. Representa esa altura fronte ao tempo e obtés a gráfica da función seno. Os enxeñeiros usan exactamente esta idea para describir vibracións, e os desenvolvedores de xogos e animacións úsana para xirar obxectos na pantalla.
Un cuadrante e dous triángulos danche a circunferencia enteira
Velaquí os ángulos principais coas súas coordenadas. Usa a lista como referencia, pero intenta reconstruír cada fila cos triángulos ou co truco da man antes de mirar.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = non definida
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = non definida
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Se unha fila che custa, volve ao primeiro cuadrante, busca o ángulo correspondente e decide os signos segundo o cuadrante. Ese único hábito substitúe a lista enteira.
Adestra estas a continuación