O 1 é un número primo? Que son os números primos e como recoñecelos rápido

Que é un número primo?

O 1 é un número primo? Non. Un número primo é un número natural que ten exactamente dous divisores distintos: o 1 e o propio número. Por exemplo, o 7 é primo porque só o 1 e o 7 o dividen exactamente. O número 1 ten un só divisor, así que non cumpre esa regra. Tampouco é composto, e iso deixa o 1 nun grupo á parte.

O 1 é un número primo?

Non, o 1 non é un número primo. Un número primo necesita exactamente dous divisores distintos, e o 1 só ten un. Tampouco é composto, porque os números compostos teñen máis de dous divisores. Por iso os matemáticos consideran que o 1 non é nin primo nin composto. O número primo máis pequeno é o 2, cos divisores 1 e 2.

Exemplo

Estes son os divisores dos números do 1 ao 6.

• O 1 ten un divisor (1), así que non é nin primo nin composto.
• O 2 ten dous divisores (1 e 2), así que é primo.
• O 3 ten dous divisores (1 e 3), así que é primo.
• O 4 ten tres divisores (1, 2 e 4), así que é composto.
• O 5 ten dous divisores (1 e 5), así que é primo.
• O 6 ten catro divisores (1, 2, 3 e 6), así que é composto.

Só o 1 ten un único divisor. Todo número primo ten exactamente dous, e todo número composto ten tres ou máis.

Velo con puntos

Proba isto con puntos nun papel ou con obxectos pequenos, como botóns. Seis puntos pódense colocar nun rectángulo de 2 filas de 3, así que o 6 é composto. Sete puntos só poden formar unha única fila de 7, por moito que o intentes, así que o 7 é primo. Cun só punto non hai nada que colocar, e iso mostra doutra maneira que o 1 se comporta de forma distinta.

Por que tanta xente cre que o 1 é primo

Moitos aprendemos que un número primo é o que é "divisible só por 1 e por si mesmo". Con esa definición, parece que o 1 cumpre. O problema é que aquí o 1 e "si mesmo" son o mesmo número, e iso dá un divisor, non dous. Por iso as definicións coidadosas falan de exactamente dous divisores distintos, ou dun "número natural maior ca 1" que só é divisible por 1 e por si mesmo.

Tamén pode que leas en internet que o 1 "antes era primo". A historia real é máis variada. Os matemáticos da antiga Grecia nin sequera consideraban o 1 un número, e os matemáticos posteriores non se puxeron de acordo. Como explica Scientific American na súa historia desta cuestión, o matemático británico G. H. Hardy aínda incluía o 1 entre os primos nas primeiras edicións do seu libro de texto e cambiouno en 1938. Hoxe os matemáticos coinciden en que o 1 non é primo.

Mesmo adultos que estudaron matemáticas durante anos dubidan ás veces neste punto. Se o teu fillo dixo que o 1 é primo e lle marcaron a resposta como incorrecta, o seu razoamento non era ningunha parvada. Á regra que recordaba simplemente faltáballe un pequeno detalle.

O 2 é un número primo?

Si. O 2 é o número primo máis pequeno e o único par. Calquera outro número par pódese dividir entre 2, e iso dálle polo menos tres divisores (1, 2 e o propio número). Así que, despois do 2, todos os primos son impares, aínda que moitos números impares son compostos.

O 0 é un número primo?

Non. O cero non é nin primo nin composto. Todo número natural agás o 0 divide exactamente o 0, así que o 0 ten moitísimos máis de dous divisores. As palabras primo e composto só se usan para números naturais maiores ca 1, e iso deixa o 0 e o 1 fóra deses dous grupos.

Como saber rápido se un número é primo?

Divide o número só entre primos pequenos, comezando por 2, 3, 5 e 7. Podes parar cando o primo que estás a probar, multiplicado por si mesmo, sexa maior ca o teu número. Se ningún deses primos o divide exactamente, o número é primo. Para calquera número menor ca 100, abonda con probar 2, 3, 5 e 7.

Exemplo

O 91 é primo?

1. É impar, así que o 2 non o divide.
2. As súas cifras suman 9 + 1 = 10. Non é múltiplo de 3, así que o 3 non o divide.
3. Non remata en 0 nin en 5, así que o 5 non o divide.
4. Proba co 7. Como 7 × 13 = 91, o 91 non é primo.

O 97 é primo? É impar, as súas cifras suman 16 e non remata en 0 nin en 5. Ao dividir, 97 ÷ 7 = 13 e o resto é 6. O seguinte primo é o 11, e 11 × 11 = 121 xa é maior ca 97. Podes parar aí, así que o 97 é primo.

Por que podes parar antes

Os divisores van por parellas. Para o 36, as parellas son 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 e 6 × 6. En cada parella, un dos divisores é 6 ou menor, porque 6 × 6 = 36. Así que, se non atopas ningún divisor ata ese punto, tampouco hai ningún máis alá.

Os filtros rápidos

• Se un número remata en 0, 2, 4, 6 ou 8, é divisible por 2. Só o propio 2 é primo.
• Se as súas cifras suman un múltiplo de 3, o número é divisible por 3. Só o propio 3 é primo.
• Se un número remata en 0 ou en 5, é divisible por 5. Só o propio 5 é primo.
• Para o 7, simplemente divide.

A rapidez chega de ver moitos números. Cando os filtros che resulten familiares, unhas cantas roldas de detectar primos contra o reloxo en Math Max convérteos nun hábito, porque cada resposta correcta é un ataque contra o outro loitador. Funciona de balde no navegador, así que non hai nada que instalar.

Que números parecen primos pero non o son?

Os números trampa clásicos son o 51, o 57 e o 91. Son impares, non rematan en 5 e parecen primos. Pero 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 e 91 = 7 × 13. A maioría dos números trampa descóbrense co criterio de divisibilidade do 3 ou cunha división rápida entre 7.

Exemplo

• 39 = 3 × 13. As súas cifras suman 12, un múltiplo de 3.
• 51 = 3 × 17. As súas cifras suman 6, un múltiplo de 3.
• 57 = 3 × 19. As súas cifras suman 12, un múltiplo de 3.
• 87 = 3 × 29. As súas cifras suman 15, un múltiplo de 3.
• 91 = 7 × 13. Ao dividir entre 7 descóbrese.
• 119 = 7 × 17. Ao dividir entre 7 descóbrese.
• 133 = 7 × 19. Ao dividir entre 7 descóbrese.

Ata os expertos caen

Ao 57 chámanlle en broma o primo de Grothendieck, por unha anécdota segundo a cal o famoso matemático Alexander Grothendieck o usou unha vez como exemplo de número primo.

Cando o blog de matemáticas The Aperiodical analizou os resultados dun xogo en liña chamado "Is this prime?", o 51 confundiuse cun primo aínda máis a miúdo ca o 57. Moitos xogadores tamén dixeron que o 39 era primo. O primo que máis veces se tomou por composto foi o 59, así que os erros van nas dúas direccións.

Dous atallos falsos causan a maioría destes fallos. Un é "os números impares son primos", e o 9, o 15 e o 21 desménteno. O outro é "os números que rematan en 1, 3, 7 ou 9 son primos", pero esas terminacións só descartan o 2 e o 5 como divisores.

Números primos ata 100

Se tes dúbidas, compara coa lista. Hai 25 números primos menores ca 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

A lista nunca se acaba, porque o matemático grego Euclides demostrou que hai infinitos números primos.

Dous divisores distintos, esa é toda a regra

Un número primo necesita exactamente dous divisores distintos, e o 1 só ten un, así que o 1 non é primo. A mesma regra explica por que o 2 é primo e por que o 0 non o é. Para comprobar rápido un número, proba con primos pequenos, para na raíz cadrada e vixía trampas como o 51 e o 91.