Théorème de Pythagore expliqué : trouver un côté du triangle rectangle

Le théorème de Pythagore permet de trouver le côté manquant d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres. C'est une formule courte, a² + b² = c², mais les élèves bloquent souvent sur quel côté est lequel et sur le moment où il faut additionner ou soustraire. Ce guide présente les deux cas avec des exemples, les erreurs à surveiller et les situations de la vie courante où le théorème apparaît.

Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore dit que, dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Sous forme de formule, a² + b² = c². Ici, a et b sont les deux côtés les plus courts, appelés les côtés de l'angle droit, et c est le plus grand côté, appelé l'hypoténuse.

Exemple

Prends un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm. Élève ces deux côtés au carré. 3² = 9 et 4² = 16. Additionne-les pour obtenir 25. Demande-toi maintenant quel nombre au carré donne 25. La réponse est 5, donc l'hypoténuse mesure 5 cm. Tu peux vérifier dans l'autre sens, car 5² = 25 = 9 + 16.

Pourquoi est-ce que ça marche ?

Imagine un carré dessiné sur chaque côté du triangle. Le théorème dit que l'aire du grand carré construit sur l'hypoténuse est égale à celle des deux petits carrés réunis. Pour le triangle 3, 4, 5, cela donne 25 = 9 + 16.

Une façon de comprendre pourquoi est une démonstration classique par le dessin. Prends quatre exemplaires du même triangle rectangle et dispose-les à l'intérieur d'un grand carré, de façon à laisser un carré incliné au milieu.

Ce carré du milieu a pour côté c, donc son aire est c². Dispose maintenant les quatre mêmes triangles autrement, dans le même grand carré. L'espace vide devient deux carrés, l'un de côté a et l'autre de côté b. Le grand carré et les quatre triangles n'ont pas changé, donc l'espace vide non plus. Cela veut dire que c² = a² + b².

Comment trouver l'hypoténuse ?

Pour trouver l'hypoténuse, élève les deux côtés les plus courts au carré, additionne les résultats et prends la racine carrée du total. Sous forme de formule, c = √(a² + b²). La réponse est toujours plus longue que chacun des deux autres côtés, ce qui permet de vérifier rapidement que tu ne t'es pas trompé.

Exemple

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 m et 8 m.

1. Élève chaque côté au carré. 6² = 36 et 8² = 64.
2. Additionne-les. 36 + 64 = 100.
3. Prends la racine carrée. √100 = 10.

L'hypoténuse mesure 10 m. Toutes les réponses ne tombent pas sur un nombre entier. Avec des côtés de 5 et 7, tu obtiens 25 + 49 = 74, et √74 vaut environ 8,60. Si les racines carrées te semblent lentes, quelques manches du jeu des racines carrées t'aident à reconnaître rapidement les carrés parfaits. Repérer 36, 64 et 100 d'un coup d'œil accélère chacune des étapes ci-dessus.

Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus grand côté. Beaucoup d'élèves s'embrouillent quand le triangle est tourné ou dessiné à l'envers. Trouve d'abord le petit carré qui marque l'angle droit. Le côté qui ne touche pas ce coin est l'hypoténuse, où qu'il se trouve sur la page.

Comment trouver un côté de l'angle droit manquant ?

Pour trouver un côté de l'angle droit manquant, élève l'hypoténuse au carré, élève le côté connu au carré et soustrais le plus petit carré du plus grand. Prends ensuite la racine carrée. Sous forme de formule, a = √(c² − b²). Ici on soustrait, car l'hypoténuse est le plus grand côté, donc son carré est le total de départ.

Exemple

Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de l'angle droit de 5 cm.

1. Élève l'hypoténuse au carré. 13² = 169.
2. Élève le côté connu au carré. 5² = 25.
3. Soustrais. 169 − 25 = 144.
4. Prends la racine carrée. √144 = 12.

Le côté manquant mesure 12 cm. Vérifie que c'est logique. 12 est plus petit que 13, comme doit l'être un côté de l'angle droit. Et 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², donc le triangle vérifie le théorème.

Les deux cas suivent une règle simple. Si tu cherches le plus grand côté, additionne. Si tu cherches un côté plus court, soustrais. Une fois que cette règle te paraît naturelle, le jeu de géométrie est un endroit amusant pour mettre en pratique les problèmes de triangles. Il demande des réponses rapides, ce qui aide les étapes à devenir automatiques.

Quelles erreurs fait-on avec le théorème de Pythagore ?

Les erreurs les plus courantes sont d'utiliser le théorème sur un triangle sans angle droit, d'additionner quand il faut soustraire, d'oublier la racine carrée à la fin et de choisir le mauvais côté comme hypoténuse. Chacune est facile à éviter quand on sait qu'il faut la surveiller.

Exemple

Un élève a une hypoténuse de 10 et un côté de l'angle droit de 6, et il écrit 10² + 6² = 136, puis √136 ≈ 11,66. Cette réponse est plus longue que l'hypoténuse, ce qui est impossible pour un côté de l'angle droit. Le bon calcul est 100 − 36 = 64, et √64 = 8.

Voici les erreurs à surveiller :

1. L'utiliser sur n'importe quel triangle. Le théorème ne marche que si un angle mesure exactement 90°.
2. Appeler toujours c le côté inconnu. Seule l'hypoténuse est c. Si le côté inconnu est un côté de l'angle droit, tu soustrais.
3. S'arrêter avant la racine carrée. 6² + 8² = 100 donne c², pas c. Le côté mesure √100 = 10.
4. Penser que √(a² + b²) est la même chose que a + b. Avec 3 et 4, √(9 + 16) = 5, alors que 3 + 4 = 7.
5. Arrondir trop tôt. Dans les problèmes en plusieurs étapes, garde la valeur exacte jusqu'à la fin et n'arrondis que la réponse finale.

Le théorème de Pythagore marche-t-il pour tous les triangles ?

Non. Le théorème de Pythagore ne marche que pour les triangles rectangles, qui ont un angle d'exactement 90°. Il marche aussi dans l'autre sens. Si les trois côtés d'un triangle vérifient a² + b² = c², le triangle a forcément un angle droit. Cette version réciproque est un moyen fiable de vérifier si un coin est d'équerre.

Exemple

Un triangle de côtés 5, 12 et 13 est-il rectangle ? Élève les deux côtés les plus courts au carré et additionne-les. 25 + 144 = 169. Élève le plus grand côté au carré. 13² = 169. Les deux sont égaux, donc oui.

Et un triangle de côtés 6, 7 et 9 ? 36 + 49 = 85, mais 9² = 81. Ce n'est pas égal, donc le triangle n'a pas d'angle droit. Comme 85 est plus grand que 81, tous ses angles sont plus petits que 90°.

Les artisans du bâtiment utilisent la même idée. Pour vérifier qu'un coin est d'équerre, ils mesurent 3 unités le long d'un mur et 4 unités le long de l'autre. Si la distance entre ces deux repères est exactement de 5 unités, le coin est un angle droit. N'importe quelle unité convient, comme les mètres ou des pas de 30 cm, tant que les trois mesures utilisent la même.

Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers qui vérifient exactement a² + b² = c². Le plus connu est 3, 4, 5. Il y en a d'autres, comme 5, 12, 13, puis 8, 15, 17 et 7, 24, 25. Si tu multiplies chaque nombre d'un triplet par le même nombre, tu obtiens un autre triplet, comme 6, 8, 10.

Exemple

Vérifie 8, 15, 17. 8² = 64 et 15² = 225. Ensemble, cela fait 289. Et 17² = 289. Ça marche. En doublant 3, 4, 5, on obtient 6, 8, 10, et en le triplant, on obtient 9, 12, 15. Ces deux triplets marchent aussi. Connaître quelques triplets par cœur permet de repérer instantanément les réponses dans beaucoup d'exercices.

La réponse est-elle exacte, ou seulement approchée ?

La réponse donnée par le théorème de Pythagore est exacte, mais ce n'est pas toujours un nombre entier. Un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent 1 a une hypoténuse d'exactement √2. En écriture décimale, √2 ne s'arrête jamais, donc 1,414 n'est qu'une valeur approchée. C'est pour cela que beaucoup d'enseignants demandent de laisser la réponse sous la forme √2.

Exemple

Vérifie la version décimale. 1,414² = 1,999396, ce qui est proche de 2 mais pas égal à 2. La valeur √2 est la longueur exacte. Écris √2 quand la question demande une valeur exacte, et n'arrondis que quand elle demande une valeur décimale, par exemple au centième près (1,41).

À quoi sert le théorème de Pythagore dans la vie courante ?

Le théorème de Pythagore sert chaque fois qu'on a besoin d'une distance qu'on ne peut pas mesurer directement. Les artisans du bâtiment s'en servent pour vérifier les angles droits, on s'en sert pour placer une échelle en toute sécurité, la taille des écrans se mesure avec lui, et sur une carte il donne la distance en ligne droite entre deux points.

Exemple

Une échelle mesure 4 m et son pied se trouve à 1 m d'un mur. Jusqu'à quelle hauteur monte-t-elle sur le mur ? L'échelle est l'hypoténuse, donc on soustrait. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, et √15 vaut environ 3,87 m.

Quelques autres usages de tous les jours :

1. La taille des écrans. Un écran de 40 cm de large et 30 cm de haut a une diagonale de √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
2. Les distances sur une carte. Marche 3 km vers l'est puis 4 km vers le nord, et tu te retrouves à 5 km de ton point de départ, en ligne droite.
3. Les angles droits. La vérification 3, 4, 5 vue plus haut sert pour les murs, les carrés de potager et les sols carrelés.

Qui a découvert le théorème de Pythagore en premier ?

Le théorème porte le nom du penseur grec Pythagore, mais l'idée est bien plus ancienne. Une tablette d'argile babylonienne connue sous le nom de Plimpton 322, datée d'environ 1800 av. J.-C., donne la liste de nombres issus de triplets pythagoriciens plus de 1000 ans avant la naissance de Pythagore, comme l'explique un article sur les recherches de l'UNSW Sydney. Des idées semblables apparaissent dans les premières mathématiques indiennes et chinoises.