Phi, un nombre à la réputation bien établie
Les mathématiciens le notent avec la lettre grecque φ (phi), et on raconte qu'il se cache dans les tournesols, les monuments célèbres et les beaux visages. Une partie de cette réputation est méritée, une bonne partie ne l'est pas. Voici d'abord les maths, puis la version honnête de l'endroit où on le trouve vraiment.
Comment calculer le nombre d'or ?
Le nombre d'or se calcule avec la formule φ = (1 + √5) ÷ 2. La racine carrée de 5 vaut environ 2,236 : on ajoute 1, on divise par 2 et on obtient environ 1,618. Ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais, car φ est un nombre irrationnel. Pour la plupart des usages courants, 1,618 suffit largement.
Exemple
Faites le calcul à la calculatrice en trois étapes.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 ÷ 2 = 1,618
Donc φ ≈ 1,618. Pour plus de précision, φ = 1,6180339887 à dix décimales.
D'où vient (1 + √5) ÷ 2 ?
Prenez un segment et coupez-le en une grande partie a et une petite partie b. Le partage est « d'or » quand le segment entier est à la grande partie ce que la grande partie est à la petite. En symboles, (a + b) ÷ a = a ÷ b. Cette valeur commune, c'est φ.
Donnez maintenant la valeur 1 à la petite partie, la grande partie vaut alors φ. La règle devient (φ + 1) ÷ φ = φ. En multipliant les deux membres par φ, on obtient φ² = φ + 1, soit φ² − φ − 1 = 0. C'est une équation du second degré, et sa solution positive est (1 + √5) ÷ 2. L'encyclopédie Britannica décrit la même transformation en x² − x − 1 = 0.
Pourquoi 1,618, 0,618 et 2,618 se ressemblent-ils autant ?
Parce que φ² = φ + 1, élever φ au carré revient simplement à ajouter 1. Donc φ² ≈ 2,618. En divisant la même équation par φ, on obtient φ = 1 + 1 ÷ φ, ce qui signifie que 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0,618. Voilà pourquoi trois nombres différents ont les mêmes décimales.
Pourquoi le nombre d'or est-il si particulier ?
Le nombre d'or est particulier parce que c'est le seul nombre positif dont le carré est égal au nombre plus un, et dont l'inverse est égal au nombre moins un. Il relie aussi la géométrie et le dénombrement. La même valeur apparaît quand on partage un segment de façon équilibrée, quand on trace un pentagone régulier et quand on divise deux nombres de Fibonacci voisins.
Exemple
Dans un pentagone régulier de côté 1, chaque diagonale (le segment qui relie un sommet à un sommet non voisin) mesure exactement φ, soit environ 1,618. C'est pourquoi l'étoile à cinq branches tracée dans un pentagone est pleine de nombres d'or. Chaque branche de l'étoile est coupée par les autres segments selon la proportion dorée.
L'idée est très ancienne. Britannica la fait remonter à Euclide, qui parlait dans ses Éléments de partage en « extrême et moyenne raison ».
Le nombre d'or est-il la même chose que pi ?
Non. Pi (π ≈ 3,14) est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, alors que le nombre d'or (φ ≈ 1,618) vient du partage d'un segment. Ce sont deux nombres irrationnels aux décimales infinies, ce qui explique sans doute qu'on les confonde. Ils n'ont pas la même valeur et ne viennent pas des mêmes figures.
Le nombre d'or et la suite de Fibonacci sont-ils la même chose ?
Le nombre d'or et la suite de Fibonacci ne sont pas la même chose, mais ils sont étroitement liés. La suite de Fibonacci est une liste de nombres entiers où chaque nombre est la somme des deux précédents. Si l'on divise chaque nombre de Fibonacci par celui qui le précède, les résultats se rapprochent de plus en plus du nombre d'or.
Exemple
Prenez des nombres voisins de la suite de Fibonacci et divisez-les.
- 5 ÷ 3 ≈ 1,667
- 8 ÷ 5 = 1,6
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 ≈ 1,615
- 34 ÷ 21 ≈ 1,619
- 89 ÷ 55 ≈ 1,618
Les résultats passent tantôt au-dessus, tantôt en dessous de 1,618 et se stabilisent vite. Dès 144 ÷ 89, le résultat correspond déjà à φ à trois décimales près. C'est une jolie activité à la calculatrice pour les enfants, qui voient une régularité apparaître à partir de simples divisions.
Trouver la règle cachée derrière une liste de nombres est une compétence qui va bien au-delà de Fibonacci. Dans le jeu des suites de nombres, chaque attaque est une suite avec un nombre manquant, et il faut repérer la règle avant l'adversaire.
Dans la manche ci-dessus, chaque nombre vaut 5 de plus que le précédent, donc le nombre manquant est 24.
Comment tracer un rectangle d'or ?
Dans un rectangle d'or, le grand côté mesure environ 1,618 fois le petit côté. Pour en tracer un, multipliez le petit côté par 1,618, ou divisez le grand côté par 1,618 pour trouver le petit. Vous pouvez aussi en construire un de façon exacte au compas, à partir d'un carré, sans mesurer la moindre décimale.
Exemple
Si le petit côté mesure 10 cm, le grand côté mesure 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Si une page fait 1 000 pixels de large et que vous voulez un partage d'or, divisez par φ. Vous obtenez une colonne principale d'environ 618 pixels et une colonne latérale d'environ 382 pixels.
Pour le tracer au compas, suivez ces étapes.
- Tracez un carré de côté 1 (par exemple 1 décimètre).
- Marquez le milieu du côté du bas.
- Placez la pointe du compas sur ce milieu et ouvrez-le jusqu'au coin supérieur du côté opposé. Cette distance vaut √5 ÷ 2, environ 1,118.
- Rabattez le compas sur le prolongement du côté du bas. La nouvelle longueur vaut 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Complétez le rectangle. Ses côtés mesurent 1 et φ.
Si l'on retire le carré d'un rectangle d'or, le morceau restant est un autre rectangle d'or. En répétant l'opération et en traçant un quart de cercle dans chaque carré, on obtient la spirale qui illustre souvent le nombre d'or. Ce type de géométrie fait aussi partie du jeu de géométrie, où formes, angles et aires deviennent des défis rapides.
Où trouve-t-on le nombre d'or dans la nature ?
L'exemple le plus net dans la nature, c'est la façon dont beaucoup de plantes disposent leurs feuilles et leurs graines. Dans le cœur d'un tournesol, chaque nouvelle graine pousse avec à peu près la même rotation par rapport à la précédente, environ 137,5°. Cet angle d'or serre les graines sans laisser de vide et produit des spirales dont le nombre est souvent un nombre de Fibonacci.
Exemple
L'angle d'or vient directement de φ. Divisez un tour complet par φ² et vous obtenez 360° ÷ 2,618 ≈ 137,5°. Autre façon de le voir, cette rotation partage le cercle en deux arcs, d'environ 222,5° et 137,5°, selon la proportion dorée.
Une synthèse publiée en 2022 par des chercheurs de l'université de Nottingham, The Golden Ratio in Nature, rassemble des exemples à de nombreuses échelles et décrit la « tendance à apparaître dans de nombreux domaines scientifiques et artistiques » de ce rapport. Le mot tendance est bien choisi. Beaucoup de plantes suivent d'autres schémas, ce n'est donc pas une loi de la nature.
La coquille du nautile est-elle une spirale d'or ?
En général, non. Le nautile grandit selon une spirale logarithmique, qui garde la même forme en s'agrandissant, ce qui est déjà très beau en soi. Les mesures de vraies coquilles donnent en général un rapport de croissance différent de φ. Une spirale d'or dessinée par-dessus une photo de nautile est une jolie image, pas une mesure.
Le nombre d'or est-il vraiment dans l'art, l'architecture et les visages ?
La plupart du temps, non. Les affirmations selon lesquelles le Parthénon, des tableaux célèbres ou les visages séduisants suivraient le nombre d'or ne tiennent pas quand on mesure avec soin. Dans un article de 2022 publié dans The Conversation, le mathématicien Thomas Britz, de l'université UNSW, explique que φ est très rarement présent dans l'art et l'architecture de la Grèce antique.
Exemple
L'affirmation la plus répandue sur le Parthénon est que sa façade s'inscrit dans un rectangle d'or. Britz écrit que des calculs rigoureux montrent que c'est faux. Il en va de même pour les « tests du visage d'or » qui notent les célébrités. Le masque facial sur lequel ils reposent a été démenti, et aucun nombre ne décide à lui seul si un visage est beau.
Si le mythe survit, c'est souvent parce qu'on ne retient que les exemples qui arrangent. Presque n'importe quel bâtiment ou visage présente deux longueurs dont le rapport est proche de 1,6, surtout si l'on choisit où mesurer. Des rapports comme 3 ÷ 2 = 1,5 ou 16 ÷ 9 ≈ 1,78 sont tout aussi agréables et bien plus courants pour les écrans et les photos. Un test honnête examine beaucoup d'objets et compte les échecs autant que les réussites.
Les artistes et les designers utilisent-ils le nombre d'or exprès ?
Certains, oui. Les designers prennent parfois 1,618 comme point de départ pour une mise en page, un cadre ou des tailles de police, parce que cela donne un partage ni trop égal ni trop déséquilibré. C'est un choix esthétique, pas la preuve que ce rapport se cache dans tout ce qui est beau. Il fonctionne comme n'importe quelle autre proportion harmonieuse.
Le nombre d'or relève des vraies maths, pas d'une règle de beauté
Le nombre d'or est un nombre précis, (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618, avec des propriétés qui font sourire les mathématiciens. L'élever au carré ajoute 1, diviser 1 par lui retire 1, et les nombres de Fibonacci s'en approchent toujours plus. Il façonne les spirales de graines de nombreuses plantes, tandis que la plupart des histoires sur les visages et les monuments célèbres relèvent de mesures prises avec trop d'espoir.
Pour l'explorer avec un enfant, le mieux est de rester concret. Divisez des nombres de Fibonacci à la calculatrice, tracez un rectangle d'or au compas ou comptez les spirales d'une pomme de pin. Chaque activité montre une vraie régularité, et aucune n'a besoin d'un mythe pour être intéressante.