Jerarquía de operaciones: PEMDAS, BODMAS y la regla que hay detrás

¿Cómo se aplica la jerarquía de operaciones paso a paso?

Con la jerarquía de operaciones (PEMDAS en inglés), un cálculo se resuelve en cuatro pasadas. Primero lo que está dentro de los paréntesis, después las potencias, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y, al final, sumas y restas, también de izquierda a derecha. Vuelve a escribir la línea entera después de cada pasada, así cualquier error se ve enseguida.

Ejemplo

Calcula 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.

1. Paréntesis: 6 − 2 = 4, y queda 3 + 4 × 4² ÷ 8
2. Potencias: 4² = 16, y queda 3 + 4 × 16 ÷ 8
3. Multiplicación y división, de izquierda a derecha: 4 × 16 = 64, luego 64 ÷ 8 = 8, y queda 3 + 8
4. Suma y resta: 3 + 8 = 11

Copiar la línea otra vez parece lento. Aun así, es la mejor protección contra los errores. Un fallo típico es sumar el 3 y el 4 al principio. Eso da 7, y el resultado final sale mal.

¿En PEMDAS la multiplicación va antes que la división?

No. La multiplicación y la división están al mismo nivel, igual que la suma y la resta. Dentro de cada pareja se va simplemente de izquierda a derecha. PEMDAS pone la M antes que la D solo porque una palabra tiene que colocar sus letras en algún orden. Tomar las letras como una clasificación estricta es uno de los errores más frecuentes con la jerarquía de operaciones.

Ejemplo

Calcula 24 ÷ 4 × 2.

1. Desde la izquierda, primero viene la división: 24 ÷ 4 = 6
2. Después, la multiplicación: 6 × 2 = 12

Si multiplicas primero, te sale 24 ÷ 8 = 3, que está mal. Con la suma y la resta pasa lo mismo. En 10 − 4 + 3, de izquierda a derecha da 6 + 3 = 9. Si sumas primero, da 10 − 7 = 3, que también está mal.

El libro de texto gratuito OpenStax Prealgebra 2e lo dice sin rodeos. La multiplicación y la división se hacen en orden de izquierda a derecha, porque tienen la misma prioridad. Muchos adultos no recuerdan ese detalle del colegio, y está detrás de muchas discusiones sobre acertijos matemáticos en internet.

¿Qué diferencia hay entre PEMDAS, BODMAS y BIDMAS?

En las reglas no hay ninguna diferencia, solo en las palabras. PEMDAS empieza por la P de parentheses (paréntesis), mientras que BODMAS y BIDMAS empiezan por la B de brackets, que también son paréntesis. La E (exponents), la O (orders) y la I (indices) significan lo mismo: potencias y raíces. Todas las versiones ponen la multiplicación y la división en un nivel, y la suma y la resta en el siguiente.

Ejemplo

Calcula 2 + 3 × 4² pensando en cada versión.

1. Primero las potencias: 4² = 16
2. Después la multiplicación: 3 × 16 = 48
3. Y luego la suma: 2 + 48 = 50

BODMAS escribe la D antes que la M, y PEMDAS escribe la M antes que la D. Las dos dan 50 aquí, y dan el mismo resultado en cualquier cálculo. Si el orden de las letras sigue liando, puede ayudar escribir la regla como cuatro niveles en vez de seis letras: paréntesis, potencias, multiplicar o dividir, sumar o restar.

¿Por qué necesitamos una jerarquía de operaciones?

Sin un orden acordado, una línea como 2 + 3 × 4 podría significar dos cosas distintas. Si sumas primero, sale 20. Si multiplicas primero, sale 14. El convenio dice que la multiplicación va antes, así que el resultado es 14. La gracia de la regla es simplemente que todo el que lea el mismo cálculo obtenga el mismo resultado.

Ejemplo

Una amiga compra 3 cuadernos a 4 monedas cada uno y un bolígrafo por 2 monedas. El total es 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 monedas. Sumar primero daría 5 × 4 = 20, como si hubiera comprado el bolígrafo cuatro veces.

El convenio es mucho más antiguo que las siglas. Según MacTutor, el archivo de historia de las matemáticas de la Universidad de St Andrews, hacer la multiplicación antes que la suma y la resta ya era la norma en los primeros libros de álgebra simbólica, en el siglo XVI. La misma página cita a un historiador que escribía a finales de la década de 1920 que todavía no había acuerdo sobre si debía ir primero ÷ o ×.

¿Cuánto da 8 ÷ 2(2 + 2)?

Si sigues la jerarquía de operaciones tal como se enseña, 8 ÷ 2(2 + 2) da 16. El paréntesis va primero y da 4. El 2 escrito junto al paréntesis indica una multiplicación, y la división y la multiplicación van de izquierda a derecha, así que 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16. En clase la división se suele escribir con dos puntos (8 : 2), pero la regla es la misma.

Ejemplo

Aquí tienes las dos lecturas, una al lado de la otra.

1. De izquierda a derecha: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Con 2(2 + 2) como un solo bloque: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1

El verdadero problema es cómo está escrito el cálculo. Una nota en la web del departamento de matemáticas de Berkeley señala que no hay un convenio estándar para expresiones así, porque escribir un número pegado a un paréntesis sugiere que los dos van juntos. Los matemáticos evitan toda la discusión con paréntesis de más: (8 ÷ 2)(2 + 2) u 8 ÷ (2(2 + 2)).

La raya de fracción agrupa de la misma manera. Si 6 + 4 está escrito encima de la raya de fracción y 2 debajo, primero se suma, así que el resultado es 10 ÷ 2 = 5.

¿Cuáles son los errores más comunes con la jerarquía de operaciones?

La mayoría de los errores vienen de leer las siglas como seis pasos separados en un orden fijo. Eso lleva a multiplicar antes de dividir o a sumar antes de restar. Otros fallos son olvidar que la raya de fracción agrupa lo que hay encima y debajo, y elevar al cuadrado un número negativo sin sus paréntesis. Reescribir la línea después de cada paso detecta casi todos.

Los fallos que se repiten una y otra vez

• Multiplicar antes de dividir. En 24 ÷ 4 × 2, ve de izquierda a derecha: 6 × 2 = 12.
• Sumar antes de restar. En 10 − 4 + 3, ve de izquierda a derecha: 6 + 3 = 9.
• Elevar al cuadrado un número negativo. −3² significa −(3²) = −9, pero (−3)² = 9. El paréntesis decide si el signo menos se eleva al cuadrado.
• Empezar por el corchete de fuera. En 2 × [5 + (3 − 1)²], empieza por dentro: 3 − 1 = 2, luego 2² = 4, luego 5 + 4 = 9 y, por último, 2 × 9 = 18.
• Pasar por alto la raya de fracción. Calcula primero lo de arriba y lo de abajo por separado, y después divide.

¿Cómo se puede practicar la jerarquía de operaciones?

La mejor forma de practicar esta regla son cálculos cortos y frecuentes. En el juego de jerarquía de operaciones, cada ataque es una operación combinada como (5 + 3) × 7. Resuelves el paréntesis, multiplicas y escribes 56 para lanzar el ataque.

Las potencias frenan a mucha gente, sobre todo con números negativos. Si te atascas ahí, prueba antes el juego de potencias. Después, los cálculos más largos con potencias se resuelven con más soltura.

El nombre de la regla depende de dónde la aprendas. En Estados Unidos es PEMDAS, y en el Reino Unido, BODMAS o BIDMAS. Otros idiomas usan sus propias fórmulas cortas, pero la regla de fondo es la misma en todas partes. En muchos países de Latinoamérica se enseña con PAPOMUDAS, y en España se habla de jerarquía de operaciones.

Una regla compartida para que todos lleguemos al mismo resultado

La jerarquía de operaciones es un acuerdo, no una ley de la naturaleza, y solo funciona porque todos usamos la misma. Primero los paréntesis, después las potencias, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y, por último, sumas y restas de izquierda a derecha. Cuando un cálculo todavía se pueda leer de dos maneras, añade paréntesis y se acabó la discusión.