¿El 1 es un número primo? Qué son los números primos y cómo reconocerlos rápido

¿Qué es un número primo?

¿El 1 es un número primo? No. Un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: el 1 y el propio número. Por ejemplo, el 7 es primo porque solo el 1 y el 7 lo dividen exactamente. El número 1 tiene un solo divisor, así que no cumple esa regla. Tampoco es compuesto, lo que deja al 1 en un grupo aparte.

¿El 1 es un número primo?

No, el 1 no es un número primo. Un número primo necesita exactamente dos divisores distintos, y el 1 solo tiene uno. Tampoco es compuesto, porque los números compuestos tienen más de dos divisores. Por eso los matemáticos consideran que el 1 no es ni primo ni compuesto. El número primo más pequeño es el 2, con los divisores 1 y 2.

Ejemplo

Estos son los divisores de los números del 1 al 6.

• El 1 tiene un divisor (1), así que no es ni primo ni compuesto.
• El 2 tiene dos divisores (1 y 2), así que es primo.
• El 3 tiene dos divisores (1 y 3), así que es primo.
• El 4 tiene tres divisores (1, 2 y 4), así que es compuesto.
• El 5 tiene dos divisores (1 y 5), así que es primo.
• El 6 tiene cuatro divisores (1, 2, 3 y 6), así que es compuesto.

Solo el 1 tiene un único divisor. Todo número primo tiene exactamente dos, y todo número compuesto tiene tres o más.

Verlo con puntos

Prueba esto con puntos en un papel o con objetos pequeños, como botones. Seis puntos se pueden colocar en un rectángulo de 2 filas de 3, así que el 6 es compuesto. Siete puntos solo pueden formar una única fila de 7, lo intentes como lo intentes, así que el 7 es primo. Con un solo punto no hay nada que colocar, y eso muestra de otra manera que el 1 se comporta de forma distinta.

Por qué tanta gente cree que el 1 es primo

Muchos aprendimos que un número primo es el que es "divisible solo por 1 y por sí mismo". Con esa definición, parece que el 1 cumple. El problema es que aquí el 1 y "sí mismo" son el mismo número, lo que da un divisor, no dos. Por eso las definiciones cuidadosas hablan de exactamente dos divisores distintos, o de "un número natural mayor que 1" que solo es divisible por 1 y por sí mismo.

También puede que leas en internet que el 1 "antes era primo". La historia real es más variada. Los matemáticos de la antigua Grecia ni siquiera consideraban el 1 un número, y los matemáticos posteriores no se pusieron de acuerdo. Como explica Scientific American en su historia de esta cuestión, el matemático británico G. H. Hardy todavía incluía el 1 entre los primos en las primeras ediciones de su libro de texto y lo cambió en 1938. Hoy los matemáticos coinciden en que el 1 no es primo.

Incluso adultos que estudiaron matemáticas durante años dudan a veces en este punto. Si tu hijo dijo que el 1 es primo y le marcaron la respuesta como incorrecta, su razonamiento no era ninguna tontería. A la regla que recordaba simplemente le faltaba un pequeño detalle.

¿El 2 es un número primo?

Sí. El 2 es el número primo más pequeño y el único par. Cualquier otro número par se puede dividir entre 2, y eso le da al menos tres divisores (1, 2 y el propio número). Así que, después del 2, todos los primos son impares, aunque muchos números impares son compuestos.

¿El 0 es un número primo?

No. El cero no es ni primo ni compuesto. Todo número natural excepto el 0 divide exactamente al 0, así que el 0 tiene muchísimos más de dos divisores. Las palabras primo y compuesto solo se usan para números naturales mayores que 1, y eso deja al 0 y al 1 fuera de esos dos grupos.

¿Cómo saber rápido si un número es primo?

Divide el número solo entre primos pequeños, empezando por 2, 3, 5 y 7. Puedes parar cuando el primo que estás probando, multiplicado por sí mismo, sea mayor que tu número. Si ninguno de esos primos lo divide exactamente, el número es primo. Para cualquier número menor que 100, basta con probar 2, 3, 5 y 7.

Ejemplo

¿El 91 es primo?

1. Es impar, así que el 2 no lo divide.
2. Sus cifras suman 9 + 1 = 10. No es múltiplo de 3, así que el 3 no lo divide.
3. No termina en 0 ni en 5, así que el 5 no lo divide.
4. Prueba con el 7. Como 7 × 13 = 91, el 91 no es primo.

¿El 97 es primo? Es impar, sus cifras suman 16 y no termina en 0 ni en 5. Al dividir, 97 ÷ 7 = 13 y el resto es 6. El siguiente primo es el 11, y 11 × 11 = 121 ya es mayor que 97. Puedes parar ahí, así que el 97 es primo.

Por qué puedes parar antes

Los divisores van por parejas. Para el 36, las parejas son 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6. En cada pareja, uno de los divisores es 6 o menor, porque 6 × 6 = 36. Así que, si no encuentras ningún divisor hasta ese punto, tampoco hay ninguno más allá.

Los filtros rápidos

• Si un número termina en 0, 2, 4, 6 u 8, es divisible por 2. Solo el propio 2 es primo.
• Si sus cifras suman un múltiplo de 3, el número es divisible por 3. Solo el propio 3 es primo.
• Si un número termina en 0 o en 5, es divisible por 5. Solo el propio 5 es primo.
• Para el 7, simplemente divide.

La rapidez llega de ver muchos números. Cuando los filtros te resulten familiares, unas cuantas rondas de detectar primos contra el reloj en Math Max los convierten en un hábito, porque cada respuesta correcta es un ataque contra el otro luchador. Funciona gratis en el navegador, así que no hay nada que instalar.

¿Qué números parecen primos pero no lo son?

Los números trampa clásicos son el 51, el 57 y el 91. Son impares, no terminan en 5 y parecen primos. Pero 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 y 91 = 7 × 13. La mayoría de los números trampa se descubren con el criterio de divisibilidad del 3 o con una división rápida entre 7.

Ejemplo

• 39 = 3 × 13. Sus cifras suman 12, un múltiplo de 3.
• 51 = 3 × 17. Sus cifras suman 6, un múltiplo de 3.
• 57 = 3 × 19. Sus cifras suman 12, un múltiplo de 3.
• 87 = 3 × 29. Sus cifras suman 15, un múltiplo de 3.
• 91 = 7 × 13. Al dividir entre 7 se descubre.
• 119 = 7 × 17. Al dividir entre 7 se descubre.
• 133 = 7 × 19. Al dividir entre 7 se descubre.

Hasta los expertos caen

Al 57 se le llama en broma el primo de Grothendieck, por una anécdota según la cual el famoso matemático Alexander Grothendieck lo usó una vez como ejemplo de número primo.

Cuando el blog de matemáticas The Aperiodical analizó los resultados de un juego en línea llamado "Is this prime?", el 51 se confundió con un primo incluso más a menudo que el 57. Muchos jugadores también dijeron que el 39 era primo. El primo que más veces se tomó por compuesto fue el 59, así que los errores van en las dos direcciones.

Dos atajos falsos causan la mayoría de estos fallos. Uno es "los números impares son primos", y el 9, el 15 y el 21 lo desmienten. El otro es "los números que terminan en 1, 3, 7 o 9 son primos", pero esas terminaciones solo descartan el 2 y el 5 como divisores.

Números primos hasta 100

Si tienes dudas, compara con la lista. Hay 25 números primos menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

La lista nunca se acaba, porque el matemático griego Euclides demostró que hay infinitos números primos.

Dos divisores distintos, esa es toda la regla

Un número primo necesita exactamente dos divisores distintos, y el 1 solo tiene uno, así que el 1 no es primo. La misma regla explica por qué el 2 es primo y por qué el 0 no lo es. Para comprobar rápido un número, prueba con primos pequeños, para en la raíz cuadrada y vigila trampas como el 51 y el 91.