數線上的整數
在數線上，整數就是從0開始向右或向左一個一個數時停下來的那些等距的點。像1/2、3.5或√2這樣的數位在它們之間的空隙裡，所以不是整數。下面來看看怎麼分辨整數和非整數，為什麼0也算整數，以及整數的正負號規則到底是怎麼來的。
怎麼判斷一個數是不是整數？
如果一個數不用分數或小數部分就能寫出來，它就是整數。整數可以是正數、負數或0。英文教科書OpenStax Prealgebra 2e說得很簡單，整數就是用來數東西的數、它們的相反數和0。所以7、−7和0都是整數，而7.5不是。
例子
試著判斷下面這些數。
- −12是整數，因為它是正整數12的相反數。
- 0是整數。
- 3.5不是整數，因為它有小數部分。
- 1/2不是整數。
- 8/2是整數，因為8/2 = 4。
- √9是整數，因為√9 = 3。
- √2不是整數，因為它約等於1.41。
最後幾個例子說明了一個好習慣。先算出數值，再做判斷。一個數看起來像分數或根號，結果仍然可能是整數。
0是整數嗎？
是的，0是整數。它位在數線的中間，在負整數和正整數之間。0既不是正數也不是負數，OpenStax也明確這樣寫。不過0是偶數，因為0 = 2 × 0，它能被2整除，沒有餘數。
負數是整數嗎？
只有沒有分數或小數部分的負數才是整數。−5和−100是整數。−2.5和−3/4是負數，但不是整數。不管一個數的正負號是什麼，都可以用同樣的方法來判斷。
整數和自然數有什麼不同？
在臺灣的數學課本中，自然數通常指1、2、3……這些用來數東西的數，也就是正整數，0和負數都不算自然數。整數則包含正整數、0和負整數−1、−2、−3……。所以−4是整數，但不是自然數。0也是整數，但在臺灣通常不算自然數。要注意，中國大陸和一些國外教材把0也算成自然數，所以最好確認孩子學校採用的定義。
例子
下面是幾類主要的數之間的包含關係。
- 自然數（正整數）：1、2、3、4、…
- 非負整數（0和正整數）：0、1、2、3、4、…
- 整數：…、−3、−2、−1、0、1、2、3、…
- 有理數：所有能寫成兩個整數相除（分數）的數，例如1/2、−3/4和7（也就是7/1）
數學上用ℤ表示整數集合。這個字母來自德文Zahlen，意思是「數」。你也可能看到用ℕ表示自然數集合。就連自然數也有一點小爭議，有些書從0開始，有些書從1開始。
生活中哪裡會用到整數？
只要以某個零點為基準往上和往下計數，就會用到整數。零下的氣溫、地下樓層、海平面以下的深度，以及足球隊的淨勝球，都是可能為負數的整數。在這些情況下，0都是一個參考點，而不是「什麼都沒有」。
例子
早上的氣溫是−4 °C，到中午上升了7度。從−4開始，在數線上往上數7格，依序是−3、−2、−1、0、1、2、3。中午的氣溫是3 °C，所以−4 + 7 = 3。
臺灣的建築通常從地上1樓開始數樓層，所以這裡把地面的高度看作0，每一層的高度看作1。比地面低兩層的地下停車場（B2）記作−2，比地面高五層的觀景樓層記作5。從−2到5，電梯要上升7層的高度，因為5 − (−2) = 7。
整數的加法和減法怎麼算？
計算整數加法時，可以想像一條數線。加一個正數就向右移動，加一個負數就向左移動。減法是加法的反運算，所以減去一個負數就向右移動。這就是為什麼減去一個負數，結果反而更大。
例子
計算−3 + 5。從−3出發，向右走5步。經過−2、−1、0和1，停在2。所以−3 + 5 = 2。
再試幾題。
- −6 + 2 = −4，因為從−6向右走2步到達−4。
- −2 − 5 = −7，因為從−2向左走5步到達−7。
- 4 − (−3) = 7，因為減去−3等於加上3。
為什麼減去負數結果會變大？
減法問的是「相差多少？」。在數線上，4和−3相差7格，所以4 − (−3) = 7。OpenStax把一般規則寫成a − (−b) = a + b。很多孩子在−5 + 4上卡住，因為看到加號就以為結果會變大。從−5出發向右移動4步，就能看出答案是−1。
為什麼負負得正？
兩個整數相乘，同號得正，異號得負。負數乘負數得正數，是因為一個規律。第一個數每減少1，乘積就變化同樣的數量，只有當乘積變成正數時，這個規律才能繼續下去。
例子
看看3 × (−2)中第一個數每次減少1時會發生什麼事。
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
每個乘積都比前一個大2。為了讓規律在越過0之後繼續，(−1) × (−2)必須等於2。也可以這樣想像，乘以−1就是在數線上轉身。轉身兩次，你又面向原來的方向了。
整數除法也遵守同樣的正負號規則嗎？
是的。(−12) ÷ 3 = −4，(−12) ÷ (−3) = 4，同號得正、異號得負的規則不變。不過有一點不同。兩個整數相加、相減或相乘，結果一定是整數，但相除就不一定了。8 ÷ 2 = 4是整數，而7 ÷ 2 = 3.5不是。
怎麼提升整數運算的速度？
整數運算的速度來自大量的小練習，直到數線深深印在腦海裡。在負數遊戲中，每次攻擊都是一道負數速算題，孩子們一心想贏得戰鬥，同時也練熟了正負號規則。
在上面這一回合中，減去−17等於加上17，所以−1 − (−17) = −1 + 17 = 16。
一個數到0的距離叫作它的絕對值，所以−5的絕對值是5。這是大多數學生學完整數後接觸的下一個概念，絕對值遊戲把它變成一輪輪快速的挑戰。
整數就是往前或往後數都能數到的數
每個整數都是從0開始數能到達的一步，正數向右，負數向左。0位在中間，也屬於整數。如果孩子能在腦海中想像出這條數線，加法、減法和乘法的規則就不再是需要死背的規則，而會變得合情合理。