單位圓是以點(0, 0)為中心、半徑為1的圓。它看起來像是又一張要背的圖表,但其實只是一個概念。只要看懂這個概念,你就能在幾秒內重新推出圓上的每個值,不用背一長串數字。
什麼是單位圓?
單位圓是半徑剛好為1、圓心在原點(0, 0)的圓。每個角度從x軸的正方向開始,依逆時針方向量起,都會落在圓上的某一點。這個點的座標一定是(cos θ, sin θ)。所以x座標就是這個角的餘弦,y座標就是正弦。
範例
取一個30°的角。從圓心往x軸上方30°的方向畫一條線,直到碰到圓為止。線碰到圓的那一點是(√3/2, 1/2),大約是(0.866, 0.5)。這一點同時告訴你兩件事。30°的餘弦是√3/2,而30°的正弦是1/2。
圓上的每一點也都符合方程式x² + y² = 1。用30°那一點驗算看看。(√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1。這個方程式其實就是換了個樣子的畢氏定理,因為半徑正是兩邊為x和y的直角三角形的最長邊。
為什麼餘弦是x座標,正弦是y座標?
很多學生知道正弦、餘弦和正切的比值,卻看不出圓和它們有什麼關係。在圓裡畫一個直角三角形,讓半徑當它的最長邊(斜邊)。底邊沿著x軸,垂直的邊往上連到圓上的那一點。
餘弦是鄰邊除以斜邊。在單位圓上斜邊是1,所以餘弦就是底邊的長度,也就是x座標。同樣地,正弦是對邊除以1,也就是高度,或者說y座標。單位圓只是把除法省掉了。
單位圓為什麼要用弧度?
單位圓使用弧度,是因為半徑為1時,用弧度表示的角,剛好就是沿著圓走過的弧長。一整圈是360°,而圓的整個圓周長是2π。所以360°等於2π弧度,180°等於π弧度。
範例
要把度數換成弧度,就乘以π再除以180。以60°為例,得到60 × π / 180 = π/3。要換回來,就乘以180再除以π。所以π/4弧度就是180 / 4 = 45°。
像π/8這樣的角常讓學生搞混,因為它們不在一般的圖表上。訣竅是用「半圈的幾分之幾」來想。π是半圈,π/4是這半圈的四分之一(45°),π/8是π/4的一半,也就是22.5°。把它放在0和45°那一點的正中間就對了。
弧度在之後也很重要。在微積分裡,只有角度用弧度表示時,正弦和餘弦的規則才會這麼簡潔。這就是為什麼單位圓一出現,老師就會改用弧度。
怎麼不用死背就記住單位圓?
你只需要0°、30°、45°、60°和90°的值。圓上其他所有的值,都是這五個的鏡像。下面有三種重新推出它們的方法,而且沒有一種要靠某個語言的口訣。選一個你覺得最自然的就好。
從兩個三角形推出來
把一個正方形沿著對角線切開,就得到一個有兩個45°角的直角三角形,所以它的兩條短邊一樣長。讓長邊等於1,就像半徑一樣。這時兩條短邊必須符合x² + y² = 1,而x = y,代表每一條都是√2/2。所以45°的點是(√2/2, √2/2)。
接著畫一個邊長為2的正三角形,把它切成兩半。你會得到一個角度為30°、60°和90°的三角形,三邊是1、√3和2。把每一邊都除以2,讓長邊變成1。現在三邊是1/2、√3/2和1,這就給了你30°和60°的點。
利用平方根的規律
在0°、30°、45°、60°、90°這幾個角度下面,寫上數字0、1、2、3、4。把每個數字開平方根,再除以2。這一排就是每個角的正弦。把同一排倒過來讀,就是餘弦。
- 0°、30°、45°、60°、90°的正弦:√0/2 = 0、√1/2 = 1/2、√2/2、√3/2、√4/2 = 1
- 同樣這些角的餘弦:√4/2 = 1、√3/2、√2/2、√1/2 = 1/2、√0/2 = 0
用手來數
舉起左手,手心朝向自己。大拇指代表90°,接著食指代表60°,中指代表45°,無名指代表30°,小指代表0°。要找某個角的值,就把對應的手指彎下來。
數一數彎下的手指靠小指那一側有幾根手指,把這個數字開平方根再除以2,就是正弦。靠大拇指那一側的手指,用同樣的方法就能得到餘弦。
以30°為例,把無名指彎下來。它靠小指那一側有一根手指(小指),所以正弦是√1/2 = 1/2。靠大拇指那一側有三根手指,所以餘弦是√3/2。
每種方法都會得到同樣的五個點。在三角函數遊戲裡玩幾回合,很快就能知道你在一點時間壓力下,能不能想起正弦和餘弦的值。像這樣短而頻繁的練習,比一次練很久更能讓這些值記牢。
需要把整個單位圓背下來嗎?
不需要。你需要的是第一象限(0°到90°),以及一個可靠的方法把它對稱過去。為了考試把整張圖背下來的學生,常常幾週後就忘了。懂得三角形和對稱關係的學生,隨時都能把它重新推出來,而這正是微積分等後續主題真正需要的。
每個象限的正負號怎麼變?
圓有四個象限。在每個象限裡,座標的大小都和第一象限某個角的座標一樣,只有正負號會改變。在第一象限,x和y都是正的。在第二象限,x是負的。在第三象限,兩個都是負的。在第四象限,y是負的。
範例
找出150°的點。它在第二象限,離180°還差30°。所以它是30°那一點對y軸的鏡像。30°的點是(√3/2, 1/2)。鏡射之後x座標變成負的,所以150°的點是(−√3/2, 1/2)。
- 第一象限(0°到90°):x是正的,y是正的
- 第二象限(90°到180°):x是負的,y是正的
- 第三象限(180°到270°):x是負的,y是負的
- 第四象限(270°到360°):x是正的,y是負的
快速檢查的方法,是在一般的座標圖上想像這個點的位置。在y軸左邊,代表x是負的;在x軸下面,代表y是負的。只要想像得出點在哪裡,就不用背這份清單。
單位圓上的tan是什麼?
一個角的正切,是y座標除以x座標,所以tan θ = sin θ / cos θ。以60°為例,就是(√3/2) ÷ (1/2) = √3,大約是1.732。在90°和270°時,x座標是0,而0不能當除數,所以這兩個角的正切沒有定義。
單位圓有什麼用途?
有了單位圓,正弦和餘弦才能用在任何角度上,而不只是直角三角形裡的角。所以凡是會重複或旋轉的東西,都以它為基礎。聲波、光波、交流電、鐘擺的擺動和時鐘的指針,都是用正弦和餘弦來描述的。
範例
想像一個點以固定的速度繞著圓移動。它的高度會升到1,降到−1,再回來,形成一個平滑的波。把這個高度對時間畫成圖,就得到正弦函數的圖形。工程師正是用這個概念來描述振動,遊戲和動畫的開發者則用它來旋轉螢幕上的物體。
一個象限加兩個三角形,就能推出整個圓
下面是主要的角度和它們的座標。你可以把這份清單當作參考,但在看答案之前,先試著用三角形或手指法把每一行推出來。
- 0° (0):(1, 0),tan θ = 0
- 30° (π/6):(√3/2, 1/2),tan θ = √3/3
- 45° (π/4):(√2/2, √2/2),tan θ = 1
- 60° (π/3):(1/2, √3/2),tan θ = √3
- 90° (π/2):(0, 1),tan θ = 沒有定義
- 120° (2π/3):(−1/2, √3/2),tan θ = −√3
- 135° (3π/4):(−√2/2, √2/2),tan θ = −1
- 150° (5π/6):(−√3/2, 1/2),tan θ = −√3/3
- 180° (π):(−1, 0),tan θ = 0
- 210° (7π/6):(−√3/2, −1/2),tan θ = √3/3
- 225° (5π/4):(−√2/2, −√2/2),tan θ = 1
- 240° (4π/3):(−1/2, −√3/2),tan θ = √3
- 270° (3π/2):(0, −1),tan θ = 沒有定義
- 300° (5π/3):(1/2, −√3/2),tan θ = −√3
- 315° (7π/4):(√2/2, −√2/2),tan θ = −1
- 330° (11π/6):(√3/2, −1/2),tan θ = −√3/3
如果某一行覺得難,就回到第一象限,找出對應的角,再由象限決定正負號。只要養成這個習慣,就不用背整份清單。
接著練這些