1是質數嗎？質數是什麼、怎麼快速判斷

什麼是質數？

1是質數嗎？不是。質數是剛好有兩個不同因數的正整數，這兩個因數就是1和它自己。例如7是質數，因為只有1和7能整除它。1只有一個因數，所以不符合這個規則。它也不是合數，所以1自成一類。

1是質數嗎？

不是，1不是質數。質數需要剛好兩個不同的因數，而1只有一個。它也不是合數，因為合數的因數超過兩個。所以數學家把1歸為既不是質數也不是合數的數。最小的質數是2，它的因數是1和2。

舉例來說

下面是1到6這幾個數的因數。

• 1有一個因數（1），所以它既不是質數也不是合數。
• 2有兩個因數（1和2），所以它是質數。
• 3有兩個因數（1和3），所以它是質數。
• 4有三個因數（1、2和4），所以它是合數。
• 5有兩個因數（1和5），所以它是質數。
• 6有四個因數（1、2、3和6），所以它是合數。

只有1的因數只有一個。每個質數都剛好有兩個因數，每個合數都有三個以上的因數。

用點來看看

在紙上畫點，或是拿鈕扣之類的小東西試試看。六個點可以排成每排3個、共2排的長方形，所以6是合數。七個點不管怎麼排，都只能排成一排7個，所以7是質數。只有一個點的時候，根本沒有東西可以排。這從另一個角度說明，1和其他的數不一樣。

為什麼這麼多人以為1是質數

很多人學過，質數是「只能被1和自己整除的數」。照這個說法，1好像也符合。問題在於，這裡的1和「自己」是同一個數，所以只有一個因數，而不是兩個。正因為這樣，嚴謹的定義會說剛好有兩個不同的因數，或是說「大於1的正整數」，而且只能被1和自己整除。

你也許還會在網路上看到，1「以前是質數」。真實的歷史比這複雜一些。古希臘數學家根本不把1當成數，後來的數學家對這件事也意見分歧。就像Scientific American介紹這個問題歷史的文章所說，英國數學家G. H. 哈代在他教科書的早期版本中，仍然把1列為質數，到1938年才修改。現在數學家一致認為1不是質數。

就連學了很多年數學的大人，有時也會在這裡猶豫。如果你的孩子說1是質數，結果被打了叉，這個想法其實一點也不荒謬。他們記得的規則，只是少了一個小細節而已。

2是質數嗎？

是的。2是最小的質數，也是唯一的偶數質數。其他所有偶數都能被2整除，所以至少有三個因數（1、2和它自己）。因此2之後的質數都是奇數，不過也有很多奇數是合數。

0是質數嗎？

不是。零既不是質數也不是合數。除了0以外的每個整數都能整除0，所以0的因數遠遠超過兩個。質數和合數這兩個概念只用在大於1的正整數，所以0和1都不屬於這兩類。

怎麼快速判斷一個數是不是質數？

只要用比較小的質數去除，從2、3、5和7開始。當你正在試的質數乘以它自己，比原本的數還大時，就可以停下來。如果這些質數都不能整除它，這個數就是質數。對於小於100的數，試2、3、5和7就夠了。

舉例來說

91是質數嗎？

1. 它是奇數，所以不能被2整除。
2. 它的各位數字和是9 + 1 = 10。這不是3的倍數，所以不能被3整除。
3. 它的個位數不是0或5，所以不能被5整除。
4. 試試看7。因為7 × 13 = 91，所以91不是質數。

97是質數嗎？它是奇數，各位數字和是16，個位數也不是0或5。實際除除看，97 ÷ 7 = 13餘6。下一個質數是11，而11 × 11 = 121已經比97大了。到這裡就可以停了，所以97是質數。

為什麼可以提早停下來

因數是成對出現的。36的因數對是1 × 36、2 × 18、3 × 12、4 × 9和6 × 6。因為6 × 6 = 36，所以每一對裡都有一個因數小於或等於6。所以如果到這裡都沒找到因數，後面也不會有。

快速篩選法

• 個位數是0、2、4、6或8的數，能被2整除。其中只有2本身是質數。
• 各位數字和是3的倍數，這個數就能被3整除。其中只有3本身是質數。
• 個位數是0或5的數，能被5整除。其中只有5本身是質數。
• 遇到7，直接除除看就好。

速度來自多看數字。熟悉這些篩選方法後，在Math Max裡玩幾輪限時找質數，就能把它們變成習慣，因為每答對一題，就是對另一位鬥士的一次攻擊。遊戲在瀏覽器裡免費執行，不用安裝任何東西。

哪些數看起來像質數，其實不是？

最經典的陷阱數是51、57和91。它們都是奇數，個位數不是5，感覺很像質數。但51 = 3 × 17，57 = 3 × 19，91 = 7 × 13。大部分的陷阱數，都可以用3的倍數判別法（各位數字和）或是用7快速除一下抓出來。

舉例來說

• 39 = 3 × 13。各位數字和是12，是3的倍數。
• 51 = 3 × 17。各位數字和是6，是3的倍數。
• 57 = 3 × 19。各位數字和是12，是3的倍數。
• 87 = 3 × 29。各位數字和是15，是3的倍數。
• 91 = 7 × 13。用7除一下就能抓出來。
• 119 = 7 × 17。用7除一下就能抓出來。
• 133 = 7 × 19。用7除一下就能抓出來。

連專家也會上當

57被開玩笑地稱為「格羅滕迪克質數」，因為有個故事說，著名數學家亞歷山大·格羅滕迪克曾經拿它當作質數的例子。

數學部落格The Aperiodical分析了一個線上「Is this prime?」遊戲的結果，發現51被誤認為質數的次數比57還多。也有很多玩家把39當成質數。最常被誤認為合數的質數是59，所以錯誤是雙向的。

這類失誤大多來自兩條錯誤的捷徑。一條是「奇數都是質數」，9、15和21就能推翻它。另一條是「個位數是1、3、7或9的數都是質數」，但這些個位數只能排除2和5是因數。

100以內的質數

不確定的時候，就對照這張表。小於100的質數一共有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89和97。

這張表永遠列不完，因為古希臘數學家歐幾里得證明了質數有無限多個。

兩個不同的因數，就是全部的規則

質數需要剛好兩個不同的因數，而1只有一個，所以1不是質數。同樣的規則也能解釋為什麼2是質數、0不是。想快速判斷一個數，就用小的質數去試，到平方根就停，並且留意51和91這類陷阱。