数轴上的整数
在数轴上，整数就是从0开始向右或向左一个一个数时落到的那些等距的点。像1/2、3.5或√2这样的数位于它们之间的空隙里，所以不是整数。下面来看看怎样区分整数和非整数，为什么0也算整数，以及整数的符号法则到底是怎么来的。
怎样判断一个数是不是整数？
如果一个数不用分数或小数部分就能写出来，它就是整数。整数可以是正数、负数或0。英文教材OpenStax Prealgebra 2e说得很简单，整数就是用来计数的数、它们的相反数和0。所以7、−7和0都是整数，而7.5不是。
例子
试着判断下面这些数。
- −12是整数，因为它是正整数12的相反数。
- 0是整数。
- 3.5不是整数，因为它有小数部分。
- 1/2不是整数。
- 8/2是整数，因为8/2 = 4。
- √9是整数，因为√9 = 3。
- √2不是整数，因为它约等于1.41。
最后几个例子说明了一个好习惯。先算出数值，再做判断。一个数看起来像分数或根式，结果仍然可能是整数。
0是整数吗？
是的，0是整数。它位于数轴的中间，在负整数和正整数之间。0既不是正数也不是负数，OpenStax也明确这样写。不过0是偶数，因为0 = 2 × 0，它能被2整除，没有余数。
负数是整数吗？
只有没有分数或小数部分的负数才是整数。−5和−100是整数。−2.5和−3/4是负数，但不是整数。不管一个数的符号是什么，都可以用同样的方法来判断。
整数和自然数有什么区别？
在我国的中小学数学中，自然数是0、1、2、3……，也就是说0也是自然数，但自然数里没有负数。整数包括全部自然数，再加上负整数−1、−2、−3……。所以−4是整数，但不是自然数。要注意，有些国家的教材里自然数从1开始，不包括0，所以最好确认孩子所学教材使用的定义。
例子
下面是几类主要的数之间的包含关系。
- 正整数：1、2、3、4、…
- 自然数：0、1、2、3、4、…
- 整数：…、−3、−2、−1、0、1、2、3、…
- 有理数：所有能写成两个整数之比（分数）的数，比如1/2、−3/4和7（也就是7/1）
数学上用ℤ表示整数集。这个字母来自德语单词Zahlen，意思是“数”。你还会看到用ℕ表示自然数集。在我国教材中ℕ包含0，正整数集记作ℕ*或ℕ₊。关于自然数是否包含0，各国教材的规定并不完全一样。
生活中哪里会用到整数？
只要以某个零点为基准向上和向下计数，就会用到整数。零下的气温、地下楼层、海平面以下的深度，以及足球队的净胜球，都是可能为负数的整数。在这些情况下，0都是一个参照点，而不是“什么都没有”。
例子
早上的气温是−4 °C，到中午升高了7度。从−4开始，在数轴上向上数7格，依次是−3、−2、−1、0、1、2、3。中午的气温是3 °C，所以−4 + 7 = 3。
我国的建筑一般从地上1楼开始数楼层，所以这里把地面的高度看作0，每一层的高度看作1。比地面低两层的地下停车场（负二层）记作−2，比地面高五层的观景层记作5。从−2到5，电梯要上升7层的高度，因为5 − (−2) = 7。
整数的加法和减法怎么算？
计算整数加法时，可以想象一条数轴。加一个正数就向右移动，加一个负数就向左移动。减法是加法的逆运算，所以减去一个负数就向右移动。这就是为什么减去一个负数，结果反而更大。
例子
计算−3 + 5。从−3出发，向右走5步。经过−2、−1、0和1，停在2。所以−3 + 5 = 2。
再试几道题。
- −6 + 2 = −4，因为从−6向右走2步到达−4。
- −2 − 5 = −7，因为从−2向左走5步到达−7。
- 4 − (−3) = 7，因为减去−3等于加上3。
为什么减去负数结果会变大？
减法问的是“相差多少？”。在数轴上，4和−3相差7格，所以4 − (−3) = 7。OpenStax把一般法则写成a − (−b) = a + b。很多孩子在−5 + 4上卡住，因为看到加号就以为结果会变大。从−5出发向右移动4步，就能看出答案是−1。
为什么负负得正？
两个整数相乘，同号得正，异号得负。负数乘负数得正数，是因为一个规律。第一个因数每减少1，积就变化同样的数量，只有当积变成正数时，这个规律才能继续下去。
例子
看看3 × (−2)中第一个因数每次减少1时会发生什么。
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
每个积都比前一个大2。为了让规律在越过0之后继续，(−1) × (−2)必须等于2。还可以这样想象，乘以−1就是在数轴上掉头。掉头两次，你又面朝原来的方向了。
整数除法也遵循同样的符号法则吗？
是的。(−12) ÷ 3 = −4，(−12) ÷ (−3) = 4，同号得正、异号得负的法则不变。不过有一点不同。两个整数相加、相减或相乘，结果一定是整数，但相除就不一定了。8 ÷ 2 = 4是整数，而7 ÷ 2 = 3.5不是。
怎样提高整数运算的速度？
整数运算的速度来自大量的小练习，直到数轴深深印在脑海里。在负数游戏中，每次攻击都是一道负数速算题，孩子们一心想赢得战斗，同时也练熟了符号法则。
在上面这一回合中，减去−17等于加上17，所以−1 − (−17) = −1 + 17 = 16。
一个数到0的距离叫作它的绝对值，所以−5的绝对值是5。这是大多数学生学完整数后接触的下一个概念，绝对值游戏把它变成了一轮轮快速的挑战。
整数就是向前或向后数都能数到的数
每个整数都是从0开始数能到达的一步，正数向右，负数向左。0位于中间，也属于整数。如果孩子能在脑海中想象出这条数轴，加法、减法和乘法的法则就不再是需要死记硬背的规则，而会变得合情合理。