单位圆是一个半径为1、以点(0, 0)为圆心的圆。它看起来像又一张需要背下来的图表，其实只是一个简单的想法。一旦理解了这个想法，你就能在几秒钟内推出圆上的每一个数值，不需要背一长串数字。
什么是单位圆？
单位圆是半径正好为1、圆心在原点(0, 0)的圆。每个角从x轴正方向开始按逆时针方向量，都会落在圆上的一个点。这个点的坐标总是(cos θ, sin θ)。所以，x坐标是这个角的余弦，y坐标是它的正弦。
举个例子
取一个30°的角。从圆心出发，沿x轴上方30°的方向画一条线，直到碰到圆。线落在的那个点是(√3/2, 1/2)，大约是(0.866, 0.5)。这一下就告诉了你两件事。30°的余弦是√3/2，30°的正弦是1/2。
圆上的每个点也都满足方程x² + y² = 1。用30°的点来验证一下。(√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1。这个方程其实就是换了个样子的勾股定理，因为半径正是两条边分别为x和y的直角三角形的最长边。
为什么余弦是x坐标，正弦是y坐标？
很多学生知道正弦、余弦和正切的比值，却看不出它们和圆有什么关系。在圆里画一个直角三角形，让半径作为它的最长边（斜边）。底边沿着x轴，竖直的边一直向上到圆上的那个点。
余弦是邻边除以斜边。在单位圆上，斜边是1，所以余弦就是底边的长度，也就是x坐标。同样，正弦是对边除以1，也就是高度，即y坐标。单位圆只是把除法省掉了。
单位圆为什么用弧度？
单位圆使用弧度，是因为当半径为1时，用弧度表示的角正好等于你沿着圆走过的弧长。转一整圈是360°，而整个圆的周长是2π。所以360°等于2π弧度，180°等于π弧度。
举个例子
把角度换算成弧度，就乘以π再除以180。60°就是60 × π / 180 = π/3。反过来换算，就乘以180再除以π。所以π/4弧度就是180 / 4 = 45°。
像π/8这样的角常常让学生困惑，因为它们不在常见的图表上。窍门是把角看成半圈的几分之几。π是半圈，π/4是这半圈的四分之一（45°），π/8是π/4的一半，也就是22.5°。把它放在0和45°那个点的正中间。
弧度在以后的学习中也很重要。在微积分里，只有当角用弧度表示时，正弦和余弦的运算规则才这么简洁。所以单位圆一出现，老师就会改用弧度。
怎样不死记硬背也能记住单位圆？
你只需要0°、30°、45°、60°和90°这几个角的数值。圆上其他所有的点都是这五个点的镜像。下面介绍三种推出它们的方法，而且没有一种依赖某种语言里的口诀。选一个你觉得最自然的就好。
用两个三角形推出来
把一个正方形沿对角线剪开，就得到一个有两个45°角的直角三角形，所以它的两条短边相等。让长边等于1，就像半径一样。这两条短边必须满足x² + y² = 1，又因为x = y，所以每条短边都是√2/2。因此45°的点是(√2/2, √2/2)。
再画一个边长为2的等边三角形，把它从中间分成两半。你会得到一个角为30°、60°和90°的三角形，三条边分别是1、√3和2。把每条边都除以2，让长边变成1。现在三条边是1/2、√3/2和1，这样就得到了30°和60°的点。
用平方根的规律
在0°、30°、45°、60°、90°这几个角下面依次写上0、1、2、3、4。对每个数开平方，再除以2。这一行就是每个角的正弦。把同一行倒过来读，就是余弦。
- 0°、30°、45°、60°、90°的正弦：√0/2 = 0，√1/2 = 1/2，√2/2，√3/2，√4/2 = 1
- 同样这些角的余弦：√4/2 = 1，√3/2，√2/2，√1/2 = 1/2，√0/2 = 0
用手来数
举起左手，手掌朝向自己。拇指代表90°，接着食指代表60°，中指代表45°，无名指代表30°，小指代表0°。要找某个角的数值，就把它对应的手指弯下来。
数一数弯下的手指靠小指那一侧有几根手指，对这个数开平方，再除以2，就得到正弦。用同样的方法数靠拇指那一侧的手指，就得到余弦。
算30°时，弯下无名指。它靠小指那一侧有一根手指（小指），所以正弦是√1/2 = 1/2。靠拇指那一侧有三根手指，所以余弦是√3/2。
每种方法得到的都是同样的五个点。在三角函数游戏里玩几局，很快就能看出你在有一点时间压力的情况下能不能想起正弦和余弦的值。像这样时间短、次数多的练习，比一次长时间的练习更能让这些数值记牢。
需要把整个单位圆都背下来吗？
不需要。你只需要掌握第一象限（0°到90°），再加上一个可靠的对称方法。为了考试把整张图背下来的学生，往往几周后就忘了。理解了三角形和对称关系的学生，随时都能把它推出来，而这正是微积分等后续内容真正需要的。
每个象限里的正负号怎么变？
圆有四个象限。在每个象限里，坐标的大小都和第一象限中某个角的坐标相同，变的只是正负号。在第一象限，x和y都是正的。在第二象限，x是负的。在第三象限，两个都是负的。在第四象限，y是负的。
举个例子
找出150°对应的点。它在第二象限，比180°少30°。所以它是30°的点关于y轴的镜像。30°的点是(√3/2, 1/2)。做镜像后x坐标变成负的，所以150°的点是(−√3/2, 1/2)。
- 第一象限（0°到90°）：x为正，y为正
- 第二象限（90°到180°）：x为负，y为正
- 第三象限（180°到270°）：x为负，y为负
- 第四象限（270°到360°）：x为正，y为负
有个快速检查的方法，就是想象这个点在普通坐标图上的位置。在y轴左边，x就是负的；在x轴下方，y就是负的。只要能想象出点的位置，就不需要背这个列表。
单位圆上的正切是什么？
一个角的正切等于y坐标除以x坐标，所以tan θ = sin θ / cos θ。60°时就是(√3/2) ÷ (1/2) = √3，大约是1.732。在90°和270°时，x坐标是0，而0不能作除数，所以这两个角的正切不存在。
单位圆有什么用？
正是因为有了单位圆，正弦和余弦才能用于任何角，而不只是直角三角形里的角。这让它成为一切重复或旋转现象的基础。声波、光波、交流电、钟摆的运动和钟表的指针，都可以用正弦和余弦来描述。
举个例子
想象一个点以恒定的速度绕着圆运动。它的高度升到1，降到−1，再回来，形成一条平滑的波。把这个高度随时间的变化画出来，就得到正弦函数的图像。工程师正是用这个思路来描述振动，游戏和动画开发者也用它在屏幕上旋转物体。
一个象限加两个三角形，就能推出整个圆
下面是主要的角和它们的坐标。可以把这个列表当作参考，但在看之前，先试着用三角形或手指法把每一行推出来。
- 0°（0）：(1, 0)，tan θ = 0
- 30°（π/6）：(√3/2, 1/2)，tan θ = √3/3
- 45°（π/4）：(√2/2, √2/2)，tan θ = 1
- 60°（π/3）：(1/2, √3/2)，tan θ = √3
- 90°（π/2）：(0, 1)，tan θ 不存在
- 120°（2π/3）：(−1/2, √3/2)，tan θ = −√3
- 135°（3π/4）：(−√2/2, √2/2)，tan θ = −1
- 150°（5π/6）：(−√3/2, 1/2)，tan θ = −√3/3
- 180°（π）：(−1, 0)，tan θ = 0
- 210°（7π/6）：(−√3/2, −1/2)，tan θ = √3/3
- 225°（5π/4）：(−√2/2, −√2/2)，tan θ = 1
- 240°（4π/3）：(−1/2, −√3/2)，tan θ = √3
- 270°（3π/2）：(0, −1)，tan θ 不存在
- 300°（5π/3）：(1/2, −√3/2)，tan θ = −√3
- 315°（7π/4）：(√2/2, −√2/2)，tan θ = −1
- 330°（11π/6）：(√3/2, −1/2)，tan θ = −√3/3
如果某一行觉得难，就回到第一象限，找到对应的角，再根据所在的象限确定正负号。养成这一个习惯，就不用背整个列表了。
接着练这些