1是质数吗？什么是质数，怎样快速判断

什么是质数？

1是质数吗？不是。质数是恰好有两个不同因数的自然数，这两个因数就是1和它本身。比如7是质数，因为只有1和7能整除它。1只有一个因数，所以不符合这条规则。它也不是合数，所以1自成一类。

1是质数吗？

不是，1不是质数。质数需要恰好两个不同的因数，而1只有一个。它也不是合数，因为合数的因数多于两个。所以数学家把1归为既不是质数也不是合数的数。最小的质数是2，它的因数是1和2。

举个例子

下面是1到6这几个数的因数。

• 1有一个因数（1），所以它既不是质数也不是合数。
• 2有两个因数（1和2），所以它是质数。
• 3有两个因数（1和3），所以它是质数。
• 4有三个因数（1、2和4），所以它是合数。
• 5有两个因数（1和5），所以它是质数。
• 6有四个因数（1、2、3和6），所以它是合数。

只有1的因数只有一个。每个质数都恰好有两个因数，每个合数都有三个或更多因数。

用点来看

在纸上画点，或者用纽扣之类的小东西试一试。六个点可以摆成每行3个、共2行的长方形，所以6是合数。七个点不管怎么摆，都只能排成一行7个，所以7是质数。只有一个点时，根本没有什么可摆的。这从另一个角度说明，1和别的数不一样。

为什么那么多人以为1是质数

很多人学过，质数是“只能被1和它本身整除的数”。按这个说法，1好像也符合。问题在于，这里的1和“它本身”是同一个数，所以只有一个因数，而不是两个。正因为如此，严谨的定义会说恰好有两个不同的因数，或者说是“大于1的自然数”，并且只能被1和它本身整除。

你可能还会在网上看到，1“以前是质数”。真实的历史要复杂一些。古希腊数学家根本不把1当作数，后来的数学家对此也意见不一。正如Scientific American在讲述这个问题历史的文章中所说，英国数学家G. H. 哈代在他教科书的早期版本中仍把1列为质数，到1938年才改了过来。如今，数学家一致认为1不是质数。

就连学了多年数学的大人，有时也会在这里犹豫。如果你的孩子说1是质数，结果被判错了，这个想法其实并不荒唐。他们记住的规则只是少了一个小细节。

2是质数吗？

是的。2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。其他所有偶数都能被2整除，所以至少有三个因数（1、2和它本身）。因此2之后的质数都是奇数，不过也有很多奇数是合数。

0是质数吗？

不是。零既不是质数也不是合数。除了0以外的每个整数都能整除0，所以0的因数远远不止两个。质数和合数这两个概念只用于大于1的自然数，所以0和1都不属于这两类。

怎样快速判断一个数是不是质数？

只用较小的质数去除，从2、3、5和7开始。当你正在试的质数乘以它自己比原来的数大时，就可以停下来。如果这些质数都不能整除它，这个数就是质数。对于小于100的数，试2、3、5和7就够了。

举个例子

91是质数吗？

1. 它是奇数，所以不能被2整除。
2. 它的各位数字之和是9 + 1 = 10。这不是3的倍数，所以不能被3整除。
3. 它的个位不是0或5，所以不能被5整除。
4. 试试7。因为7 × 13 = 91，所以91不是质数。

97是质数吗？它是奇数，各位数字之和是16，个位也不是0或5。做一下除法，97 ÷ 7 = 13余6。下一个质数是11，而11 × 11 = 121已经比97大了。到这里就可以停了，所以97是质数。

为什么可以早点停

因数是成对出现的。36的因数对是1 × 36、2 × 18、3 × 12、4 × 9和6 × 6。因为6 × 6 = 36，所以每一对里都有一个因数小于或等于6。所以如果到这一步还没找到因数，后面也不会有。

快速筛选法

• 个位是0、2、4、6或8的数，能被2整除。其中只有2本身是质数。
• 各位数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除。其中只有3本身是质数。
• 个位是0或5的数，能被5整除。其中只有5本身是质数。
• 遇到7，直接除就行。

速度来自多看数字。熟悉这些筛选方法后，在Math Max里玩几轮限时找质数，就能把它们变成习惯，因为每答对一题，就是对另一名斗士的一次攻击。游戏在浏览器里免费运行，不用安装任何东西。

哪些数看起来像质数，其实不是？

最经典的陷阱数是51、57和91。它们都是奇数，个位不是5，感觉很像质数。但51 = 3 × 17，57 = 3 × 19，91 = 7 × 13。大多数陷阱数，都可以用3的倍数特征（各位数字之和）或者用7快速除一下识破。

举个例子

• 39 = 3 × 13。各位数字之和是12，是3的倍数。
• 51 = 3 × 17。各位数字之和是6，是3的倍数。
• 57 = 3 × 19。各位数字之和是12，是3的倍数。
• 87 = 3 × 29。各位数字之和是15，是3的倍数。
• 91 = 7 × 13。用7一除就能识破。
• 119 = 7 × 17。用7一除就能识破。
• 133 = 7 × 19。用7一除就能识破。

连专家也会上当

57被戏称为“格罗滕迪克质数”，因为有个故事说，著名数学家亚历山大·格罗滕迪克曾经把它当作质数的例子。

数学博客The Aperiodical分析了一个在线“Is this prime?”游戏的结果，发现51被误认为质数的次数比57还多。很多玩家也把39当成了质数。最常被误认为合数的质数是59，所以错误是双向的。

这类失误大多来自两条错误的捷径。一条是“奇数都是质数”，9、15和21就能推翻它。另一条是“个位是1、3、7或9的数都是质数”，但这些个位只能排除2和5作为因数。

100以内的质数

拿不准的时候，就对照这张表。小于100的质数一共有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89和97。

这张表永远列不完，因为古希腊数学家欧几里得证明了质数有无穷多个。

两个不同的因数，就是全部规则

质数需要恰好两个不同的因数，而1只有一个，所以1不是质数。同样的规则也能解释为什么2是质数、0不是。想快速判断一个数，就用小质数去试，到平方根就停，并留意51和91这样的陷阱。