Sayı doğrusunda tam sayılar
Sayı doğrusunda tam sayılar, 0'dan ileri ya da geri sayarken üzerine bastığınız eşit aralıklı noktalardır. 1/2, 3,5 ya da √2 gibi sayılar bu noktaların arasındaki boşluklarda yer alır, bu yüzden tam sayı değildir. Bu yazıda bir sayının tam sayı olup olmadığını nasıl anlayacağınızı, sıfırın neden tam sayı sayıldığını ve tam sayılarda işaret kurallarının gerçekte nasıl işlediğini göreceksiniz.
Bir sayının tam sayı olduğunu nasıl anlarsınız?
Bir sayıyı kesir ya da ondalık kısım olmadan yazabiliyorsanız o sayı tam sayıdır. Pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. İngilizce OpenStax Prealgebra 2e ders kitabı bunu basitçe açıklar. Tam sayılar, sayma sayıları, bunların ters işaretlileri ve sıfırdır. Yani 7, −7 ve 0 tam sayıdır, 7,5 ise değildir.
Örnek
Şu kısa kontrolleri deneyin.
- −12 bir tam sayıdır, çünkü 12 sayma sayısının ters işaretlisidir.
- 0 bir tam sayıdır.
- 3,5 tam sayı değildir, çünkü ondalık kısmı vardır.
- 1/2 tam sayı değildir.
- 8/2 bir tam sayıdır, çünkü 8/2 = 4.
- √9 bir tam sayıdır, çünkü √9 = 3.
- √2 tam sayı değildir, çünkü yaklaşık 1,41'dir.
Son birkaç örnek faydalı bir alışkanlığı gösteriyor. Önce değeri hesaplayın, sonra karar verin. Bir sayı kesir ya da kök gibi görünüp yine de tam sayı çıkabilir.
0 bir tam sayı mıdır?
Evet, 0 bir tam sayıdır. Sayı doğrusunun ortasında, negatif tam sayılarla pozitif tam sayıların arasında durur. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir, OpenStax da bunu açıkça belirtir. Yine de çift bir sayıdır, çünkü 0 = 2 × 0, yani 2'ye kalansız bölünür.
Negatif sayılar tam sayı mıdır?
Negatif sayılar ancak kesir ya da ondalık kısımları yoksa tam sayıdır. −5 ve −100 tam sayıdır. −2,5 ve −3/4 negatiftir ama tam sayı değildir. Aynı test, işareti ne olursa olsun her sayı için geçerlidir.
Tam sayılar ile doğal sayılar arasındaki fark nedir?
Türkiye'deki ders kitaplarında doğal sayılar 0, 1, 2, 3 diye devam eder ve negatif sayı içermez. 1, 2, 3 diye başlayan sayılara ise sayma sayıları denir. Tam sayılar bunların hepsini ve ayrıca −1, −2, −3 gibi negatif tam sayıları kapsar. Yani −4 bir tam sayıdır ama doğal sayı değildir. Bazı yabancı kaynaklar doğal sayıları 1'den başlatır, bu yüzden çocuğunuzun okulunda kullanılan tanımı kontrol edin.
Örnek
Temel sayı kümeleri iç içe şöyle yerleşir.
- Sayma sayıları: 1, 2, 3, 4, …
- Doğal sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Tam sayılar: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Rasyonel sayılar: tam sayıların birbirine oranı, yani kesri olarak yazılabilen her sayı, örneğin 1/2, −3/4 ve 7 (yani 7/1)
Matematikçiler tam sayılar kümesini ℤ ile gösterir. Bu harf, Almancada "sayılar" anlamına gelen Zahlen kelimesinden gelir. Doğal sayılar kümesi için ℕ sembolünü de görebilirsiniz. Doğal sayıların bile küçük bir tartışması vardır, çünkü Türkiye'de 0'dan başlarlar, bazı kitaplarda ise 1'den.
Tam sayıları günlük hayatta nerede görürsünüz?
Tam sayılar, bir sıfır noktasından yukarı ve aşağı saydığınız her yerde karşınıza çıkar. Sıfırın altındaki sıcaklıklar, zemin katın altındaki katlar, deniz seviyesinin altındaki derinlikler ve bir futbol takımının averajı negatif olabilen tam sayılardır. Her durumda 0 "hiçbir şey" değil, bir başlangıç noktasıdır.
Örnek
Sabah sıcaklık −4 °C ve öğlene kadar 7 derece artıyor. −4'ten başlayın ve sayı doğrusunda 7 adım yukarı sayın: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Öğlen sıcaklık 3 °C olur, yani −4 + 7 = 3.
Asansörde zemin kat genellikle 0'dır, otopark −2. katta olabilir, beşinci kat ise 5'tir. −2'den 5'e çıkmak 7 kat yol almak demektir, çünkü 5 − (−2) = 7.
Tam sayılarda toplama ve çıkarma nasıl yapılır?
Tam sayıları toplamak için bir sayı doğrusu hayal edin. Pozitif bir sayı eklemek sizi sağa, negatif bir sayı eklemek sola götürür. Çıkarma toplamanın tersidir, bu yüzden negatif bir sayıyı çıkarmak sizi sağa götürür. Negatif bir sayıyı çıkarınca sonucun büyümesinin nedeni budur.
Örnek
−3 + 5 işlemini yapın. −3'ten başlayın ve 5 adım sağa gidin. −2, −1, 0 ve 1'den geçip 2'de durursunuz. Yani −3 + 5 = 2.
Birkaç örnek daha.
- −6 + 2 = −4, çünkü −6'dan 2 adım sağa gidince −4'e varırsınız.
- −2 − 5 = −7, çünkü −2'den 5 adım sola gidince −7'ye varırsınız.
- 4 − (−3) = 7, çünkü −3'ü çıkarmak 3 eklemekle aynıdır.
Negatif bir sayıyı çıkarmak sonucu neden büyütür?
Çıkarma "fark ne kadar?" sorusunu sorar. Sayı doğrusunda 4 ile −3 arasındaki fark 7 adımdır, bu yüzden 4 − (−3) = 7. OpenStax genel kuralı a − (−b) = a + b olarak yazar. Pek çok çocuk −5 + 4 işleminde takılır, çünkü artı işaretini görünce daha büyük bir sayı bekler. −5'ten başlayıp 4 adım sağa gitmek, sonucun −1 olduğunu gösterir.
Negatif çarpı negatif neden pozitiftir?
İki tam sayıyı çarptığınızda işaretler aynıysa sonuç pozitif, farklıysa negatiftir. Negatif çarpı negatifin pozitif olmasının nedeni bir örüntüdür. İlk sayı her seferinde 1 azaldığında sonuç aynı miktarda değişir ve bu örüntü ancak sonuç pozitif olursa devam eder.
Örnek
İlk sayı her seferinde 1 azalırken 3 × (−2) işlemine ne olduğuna bakın.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Her sonuç bir öncekinden 2 fazladır. Örüntünün sıfırı geçip devam etmesi için (−1) × (−2) sonucunun 2 olması gerekir. Bunu başka bir şekilde de düşünebilirsiniz. −1 ile çarpmak sizi sayı doğrusunda geri döndürür. İki kez dönerseniz yine aynı yöne bakarsınız.
Tam sayılarda bölme de aynı işaret kuralına uyar mı?
Evet. (−12) ÷ 3 = −4 ve (−12) ÷ (−3) = 4, işaretlerle ilgili kural aynıdır. Yine de bir fark var. İki tam sayıyı toplamak, çıkarmak ya da çarpmak her zaman bir tam sayı verir, ama bölmek her zaman vermez. 8 ÷ 2 = 4 bir tam sayıdır, 7 ÷ 2 = 3,5 ise değildir.
Tam sayılarla nasıl daha hızlı işlem yapılır?
Tam sayılarla hız, sayı doğrusu kafanıza yerleşene kadar çok sayıda küçük işlem yapmaktan gelir. Negatif sayılar oyununda her saldırı negatif sayılarla yapılan hızlı bir işlemdir, böylece çocuklar dövüşü kazanmaya çalışırken işaret kurallarını da çalışmış olur.
Yukarıdaki turda −17'yi çıkarmak 17 eklemekle aynıdır, yani −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Bir sayının sıfıra olan uzaklığına mutlak değeri denir, yani −5'in mutlak değeri 5'tir. Çoğu öğrencinin tam sayılardan sonra karşılaştığı konu budur ve mutlak değer oyunu bu konuyu bir dizi hızlı tura dönüştürür.
Tam sayılar ileri ya da geri sayarak ulaşabileceğiniz sayılardır
Her tam sayı, 0'dan sayarak ulaşabileceğiniz bir adımdır. Pozitif sayılar için sağa, negatif sayılar için sola gidersiniz. Sıfır ortada durur ve o da bu gruba dahildir. Bir çocuk bu sayı doğrusunu gözünde canlandırabiliyorsa toplama, çıkarma ve çarpma kuralları ezberlenecek kurallar olmaktan çıkar ve anlam kazanmaya başlar.
Sırada bunları çalış