Birim çember, (0, 0) noktası etrafına çizilmiş, yarıçapı 1 olan bir çemberdir. Ezberlenecek bir tablo daha gibi görünür ama aslında tek bir fikirdir. Bu fikri gördüğünde, uzun bir sayı listesi ezberlemeden çember üzerindeki her değeri birkaç saniyede yeniden kurabilirsin.
Birim çember nedir?
Birim çember, yarıçapı tam olarak 1 olan ve merkezi orijinde, yani (0, 0) noktasında bulunan bir çemberdir. Pozitif x ekseninden saatin tersi yönünde ölçülen her açı, çember üzerinde bir noktaya denk gelir. Bu noktanın koordinatları her zaman (cos θ, sin θ) olur. Yani x koordinatı açının kosinüsü, y koordinatı ise sinüsüdür.
Örnek
30°'lik bir açı al. Merkezden, x ekseninin 30° yukarısına doğru, çembere değene kadar bir doğru çiz. Doğrunun çembere değdiği nokta (√3/2, 1/2) noktasıdır, bu da yaklaşık (0,866; 0,5) eder. Bu sana aynı anda iki şey söyler. 30°'nin kosinüsü √3/2, 30°'nin sinüsü ise 1/2'dir.
Çember üzerindeki her nokta x² + y² = 1 denklemini de sağlar. Bunu 30°'lik noktayla kontrol et. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Bu denklem aslında farklı bir biçimde yazılmış Pisagor teoremidir, çünkü yarıçap, kenarları x ve y olan bir dik üçgenin uzun kenarıdır.
Kosinüs neden x koordinatı, sinüs neden y koordinatıdır?
Birçok öğrenci sinüs, kosinüs ve tanjant oranlarını bilir ama çemberin işin neresine girdiğini göremez. Çemberin içine, yarıçap en uzun kenarı (hipotenüs) olacak şekilde bir dik üçgen çiz. Alt kenar x ekseni boyunca uzanır, düşey kenar ise çember üzerindeki noktaya kadar yükselir.
Kosinüs, komşu dik kenarın hipotenüse bölümüdür. Birim çemberde hipotenüs 1 olduğu için kosinüs doğrudan alt kenarın uzunluğudur, yani x koordinatı. Aynı şekilde sinüs, karşı dik kenarın 1'e bölümüdür, yani yükseklik ya da y koordinatı. Çember yalnızca bölme işlemini ortadan kaldırır.
Birim çemberde neden radyan kullanılır?
Birim çemberde radyan kullanılır, çünkü yarıçap 1 olduğunda radyan cinsinden açı, çember üzerinde gidilen yayın uzunluğuna tam olarak eşittir. Tam bir dönüş 360°'dir ve çemberin çevresinin tamamı 2π'dir. Yani 360° 2π radyana, 180° de π radyana eşittir.
Örnek
Dereceyi radyana çevirmek için π ile çarp ve 180'e böl. 60° için bu, 60 × π / 180 = π/3 eder. Geri dönmek için 180 ile çarp ve π'ye böl. Yani π/4 radyan 180 / 4 = 45° eder.
π/8 gibi açılar standart tabloda yer almadıkları için öğrencilerin kafasını sıkça karıştırır. İşin püf noktası, yarım dönüşün kesirleri üzerinden düşünmektir. π yarım dönüştür, π/4 bu yarım dönüşün dörtte biridir (45°), π/8 ise π/4'ün yarısıdır, yani 22,5°. Onu 0 ile 45°'lik nokta arasının tam ortasına yerleştirirsin.
Radyanlar ileride de önem taşır. Kalkülüste sinüs ve kosinüs kuralları ancak açılar radyan cinsinden olduğunda bu kadar düzgün işler. Öğretmenlerin birim çember ortaya çıkar çıkmaz radyana geçmesinin nedeni budur.
Birim çember ezberlemeden nasıl akılda tutulur?
Sadece 0°, 30°, 45°, 60° ve 90° için değerlere ihtiyacın var. Çemberdeki diğer her şey bu beşinin ayna görüntüsüdür. Aşağıda onları yeniden kurmanın üç yolu var ve hiçbiri tek bir dile ait bir ifadeye dayanmıyor. Sana en doğal geleni seç.
İki üçgenden yeniden kur
Bir kareyi köşegeni boyunca kesersen iki açısı 45° olan bir dik üçgen elde edersin, bu yüzden iki kısa kenarı eşittir. Uzun kenarı, yarıçap gibi 1 yap. O zaman iki kısa kenar x² + y² = 1 denklemini sağlamak zorundadır ve x = y olduğunda bu, her birinin √2/2 olduğu anlamına gelir. Yani 45°'lik nokta (√2/2, √2/2) olur.
Şimdi kenarları 2 olan bir eşkenar üçgen çiz ve onu ikiye böl. Açıları 30°, 60° ve 90°, kenarları 1, √3 ve 2 olan bir üçgen elde edersin. Uzun kenar 1 olsun diye her kenarı 2'ye böl. Kenarlar artık 1/2, √3/2 ve 1 olur, bu da sana 30° ve 60° için noktaları verir.
Karekök örüntüsünü kullan
0°, 30°, 45°, 60°, 90° açılarının altına 0, 1, 2, 3, 4 sayılarını yaz. Her sayının karekökünü al ve 2'ye böl. Bu satır sana her açının sinüsünü verir. Kosinüs için aynı satırı tersten oku.
- 0°, 30°, 45°, 60°, 90° için sinüs: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Aynı açılar için kosinüs: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Elinde say
Sol elini avucun sana bakacak şekilde kaldır. Başparmağın 90°'yi, ardından işaret parmağın 60°'yi, orta parmağın 45°'yi, yüzük parmağın 30°'yi ve serçe parmağın 0°'yi temsil eder. Bir açının değerlerini bulmak için o açının parmağını indir.
İndirdiğin parmağın serçe parmak tarafında kalan parmakları say, bu sayının karekökünü al ve 2'ye böl. Bu sana sinüsü verir. Başparmak tarafındaki parmaklar da aynı şekilde kosinüsü verir.
30° için yüzük parmağını indir. Serçe parmak tarafında bir parmak (serçe parmak) var, yani sinüs √1/2 = 1/2 olur. Başparmak tarafında üç parmak var, yani kosinüs √3/2 olur.
Her yöntem aynı beş noktayı verir. Trigonometri oyununda oynanan birkaç tur, sinüs ve kosinüs değerlerini biraz zaman baskısı altında hatırlayıp hatırlayamadığını hızlıca gösterir. Bunun gibi kısa ve sık pratik, değerlerin tek bir uzun oturumdan çok daha iyi akılda kalmasını sağlar.
Birim çemberin tamamını ezberlemen gerekir mi?
Hayır. Birinci bölgeye (0°'den 90°'ye) ve onu yansıtmanın güvenilir bir yoluna ihtiyacın var. Bir sınav için tablonun tamamını ezberleyen öğrenciler onu çoğu zaman birkaç hafta sonra unutur. Üçgenleri ve yansımaları anlayan öğrenciler ise onu istedikleri zaman yeniden kurabilir ve kalkülüs gibi ileriki konuların gerçekten istediği de budur.
Her bölgede işaretler nasıl değişir?
Çemberin dört bölgesi vardır. Her bölgede koordinatların büyüklükleri birinci bölgedeki bir açınınkilerle aynıdır, yalnızca işaretler değişir. Birinci bölgede x ve y'nin ikisi de pozitiftir. İkincide x negatiftir. Üçüncüde ikisi de negatiftir. Dördüncüde ise y negatiftir.
Örnek
150°'lik açının noktasını bul. Bu nokta ikinci bölgededir ve 180°'ye 30° uzaktadır. Yani 30°'lik noktanın y eksenine göre ayna görüntüsüdür. 30°'lik nokta (√3/2, 1/2) noktasıdır. Yansıtınca x koordinatı negatif olur, bu yüzden 150°'lik nokta (−√3/2, 1/2) olur.
- Birinci bölge (0°'den 90°'ye): x pozitif, y pozitif
- İkinci bölge (90°'den 180°'ye): x negatif, y pozitif
- Üçüncü bölge (180°'den 270°'ye): x negatif, y negatif
- Dördüncü bölge (270°'den 360°'ye): x pozitif, y negatif
Hızlı bir kontrol için noktayı normal bir grafikte gözünde canlandır. Noktanın y ekseninin solunda olması x'in negatif olduğu, x ekseninin altında olması da y'nin negatif olduğu anlamına gelir. Noktanın nerede olduğunu gözünde canlandırabiliyorsan bu listeyi ezberlemene gerek yok.
Birim çemberde tanjant nedir?
Bir açının tanjantı, y koordinatının x koordinatına bölümüdür, yani tan θ = sin θ / cos θ. 60° için bu (√3/2) ÷ (1/2) = √3 eder, yaklaşık 1,732. 90° ve 270°'de x koordinatı 0'dır ve 0'a bölme yapılamaz, bu yüzden bu açılarda tanjant tanımsızdır.
Birim çember ne işe yarar?
Birim çember, sinüs ve kosinüsün yalnızca bir dik üçgenin içindeki açılar için değil, her açı için işe yaramasının nedenidir. Bu da onu tekrar eden ya da dönen her şeyin temeli yapar. Ses dalgaları, ışık dalgaları, alternatif akım, bir sarkacın hareketi ve saatin akrep ile yelkovanı, hepsi sinüs ve kosinüsle tanımlanır.
Örnek
Çember üzerinde sabit bir hızla dönen bir nokta düşün. Yüksekliği düzgün bir dalga hâlinde 1'e çıkar, −1'e iner ve yeniden geri gelir. Bu yüksekliği zamana karşı grafiğe dökersen sinüs fonksiyonunun grafiğini elde edersin. Mühendisler titreşimleri tam olarak bu fikirle tanımlar, oyun ve animasyon geliştiricileri de ekrandaki nesneleri döndürmek için onu kullanır.
Bir bölge ve iki üçgen sana bütün çemberi verir
İşte ana açılar ve koordinatları. Listeyi başvuru kaynağı olarak kullan ama bakmadan önce her satırı üçgenlerle ya da el yöntemiyle yeniden kurmayı dene.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = tanımsız
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = tanımsız
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Bir satır zor geliyorsa birinci bölgeye dön, karşılık gelen açıyı bul ve işaretlere bölgeye bakarak karar ver. Bu tek alışkanlık bütün listenin yerini tutar.
Sırada bunları çalış