Pisagor teoremi, bir dik üçgenin iki kenarını bildiğinde eksik kenarı bulmanı sağlar. Kısa, tek bir formüldür, a² + b² = c², ama öğrenciler çoğu zaman hangi kenarın hangisi olduğunda ve ne zaman toplayıp ne zaman çıkaracaklarında takılır. Bu rehber iki durumu da örneklerle, dikkat edilmesi gereken hatalarla ve teoremin günlük hayatta nerede karşımıza çıktığıyla birlikte adım adım anlatıyor.
Pisagor teoremi nedir?
Pisagor teoremi, bir dik üçgende en uzun kenarın karesinin, iki kısa kenarın karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler. Formül olarak a² + b² = c² şeklinde yazılır. Burada a ve b, dik kenar adı verilen iki kısa kenar, c ise hipotenüs adı verilen en uzun kenardır.
Örnek
Dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgen al. İki dik kenarın da karesini al. 3² = 9 ve 4² = 16. Bunları toplayınca 25 elde edersin. Şimdi hangi sayının karesinin 25 ettiğini sor. Cevap 5, yani hipotenüs 5 cm'dir. Bunu tersinden de kontrol edebilirsin, çünkü 5² = 25 = 9 + 16.
Neden işe yarar?
Üçgenin her kenarına çizilmiş bir kare düşün. Teorem, hipotenüs üzerindeki büyük karenin alanının, iki küçük karenin alanları toplamına eşit olduğunu söyler. 3, 4, 5 üçgeni için bu 25 = 9 + 16 demektir.
Nedenini görmenin bir yolu, klasik bir şekilli ispattır. Aynı dik üçgenden dört tane al ve bunları büyük bir karenin içine, ortada eğik bir kare kalacak şekilde yerleştir.
Ortadaki karenin kenarı c olduğu için alanı c²'dir. Şimdi aynı dört üçgeni aynı büyük karenin içinde farklı bir şekilde yeniden diz. Boş alan iki kareye dönüşür, birinin kenarı a, diğerininki b'dir. Büyük kare ve dört üçgen değişmedi, o hâlde boş alan da değişmedi. Bu da c² = a² + b² demektir.
Hipotenüs nasıl bulunur?
Hipotenüsü bulmak için iki kısa kenarın karesini al, sonuçları topla ve toplamın karekökünü al. Formül olarak c = √(a² + b²). Cevap her zaman iki kısa kenarın her birinden daha uzundur, bu da hata yapmadığını hızlıca kontrol etmenin bir yoludur.
Örnek
Bir dik üçgenin dik kenarları 6 m ve 8 m.
- Her dik kenarın karesini al. 6² = 36 ve 8² = 64.
- Bunları topla. 36 + 64 = 100.
- Karekökünü al. √100 = 10.
Hipotenüs 10 m'dir. Her cevap tam sayı çıkmaz. Dik kenarlar 5 ve 7 olduğunda 25 + 49 = 74 elde edersin ve √74 yaklaşık 8,60 eder. Karekökler yavaş geliyorsa karekök oyununda oynanan birkaç tur, tam kareleri hızlıca tanımana yardım eder. 36, 64 ve 100'ü bir bakışta tanımak yukarıdaki her adımı hızlandırır.
Hangi kenarın hipotenüs olduğunu nasıl anlarsın?
Hipotenüs her zaman dik açının karşısındaki kenardır ve her zaman en uzun kenardır. Üçgen döndürüldüğünde ya da ters çizildiğinde birçok öğrencinin kafası karışır. Önce dik açıyı gösteren küçük kareyi bul. Sayfada nerede durursa dursun, o köşeye değmeyen kenar hipotenüstür.
Eksik dik kenar nasıl bulunur?
Eksik bir kısa kenarı bulmak için hipotenüsün karesini al, bildiğin kenarın karesini al ve küçük kareyi büyük kareden çıkar. Sonra karekökünü al. Formül olarak a = √(c² − b²). Burada çıkarma yaparsın, çünkü hipotenüs en büyük kenardır, dolayısıyla onun karesi başladığın toplamdır.
Örnek
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm, dik kenarlarından biri 5 cm.
- Hipotenüsün karesini al. 13² = 169.
- Bilinen dik kenarın karesini al. 5² = 25.
- Çıkar. 169 − 25 = 144.
- Karekökünü al. √144 = 12.
Eksik kenar 12 cm'dir. Mantıklı olup olmadığını kontrol et. Bir dik kenarın olması gerektiği gibi 12, 13'ten kısadır. Ayrıca 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², yani üçgen teoreme uyar.
İki durum tek bir basit kurala uyar. En uzun kenarı arıyorsan topla. Kısa kenarlardan birini arıyorsan çıkar. Bu kural doğal gelmeye başladığında, geometri oyunu üçgen problemlerini pratiğe dökmek için eğlenceli bir yerdir. Hızlı cevaplar ister, bu da adımların otomatikleşmesine yardım eder.
Pisagor teoreminde hangi hatalar yapılır?
En sık yapılan hatalar, teoremi dik açısı olmayan bir üçgende kullanmak, çıkarman gerekirken toplamak, sondaki karekökü unutmak ve yanlış kenarı hipotenüs olarak seçmektir. Neye dikkat edeceğini bildiğinde her birinden kaçınmak kolaydır.
Örnek
Bir öğrencinin elinde hipotenüsü 10, dik kenarlarından biri 6 olan bir üçgen var. Öğrenci 10² + 6² = 136, sonra √136 ≈ 11,66 yazıyor. Bu cevap hipotenüsten uzun ve bir dik kenar için bu imkânsız. Doğru adım 100 − 36 = 64 ve √64 = 8.
Dikkat edilmesi gereken hatalar şunlar:
- Teoremi her üçgende kullanmak. Teorem yalnızca bir açı tam olarak 90° olduğunda işe yarar.
- Bilinmeyen kenara her zaman c demek. Yalnızca hipotenüs c'dir. Bilinmeyen kenar bir dik kenarsa çıkarırsın.
- Karekökten önce durmak. 6² + 8² = 100 sana c'yi değil, c²'yi verir. Kenar √100 = 10'dur.
- √(a² + b²)'nin a + b ile aynı olduğunu düşünmek. 3 ve 4 ile √(9 + 16) = 5, ama 3 + 4 = 7.
- Çok erken yuvarlamak. Birkaç adımlı problemlerde tam değeri sona kadar koru ve yalnızca son cevabı yuvarla.
Pisagor teoremi her üçgende geçerli mi?
Hayır. Pisagor teoremi yalnızca bir açısı tam olarak 90° olan dik üçgenlerde geçerlidir. Teorem tersine de işler. Bir üçgenin üç kenarı a² + b² = c² eşitliğini sağlıyorsa, o üçgenin bir dik açısı olmak zorundadır. Bu ters hâli, bir köşenin dik olup olmadığını kontrol etmenin güvenilir bir yoludur.
Örnek
Kenarları 5, 12 ve 13 olan bir üçgen dik üçgen midir? İki kısa kenarın karesini al ve topla. 25 + 144 = 169. En uzun kenarın karesini al. 13² = 169. Eşitler, yani evet.
Peki kenarları 6, 7 ve 9 olan üçgen? 36 + 49 = 85, ama 9² = 81. Eşit değiller, yani üçgenin dik açısı yok. 85, 81'den büyük olduğu için bütün açıları 90°'den küçüktür.
İnşaatçılar da aynı fikri kullanır. Bir köşenin dik olduğunu kontrol etmek için bir duvar boyunca 3 birim, diğer duvar boyunca 4 birim ölçerler. Bu iki işaret arasındaki mesafe tam olarak 5 birimse köşe dik açıdır. Üç ölçümün hepsinde aynı birim kullanıldığı sürece metre ya da 30 cm'lik adımlar gibi her birim işe yarar.
Pisagor üçlüsü nedir?
Pisagor üçlüsü, a² + b² = c² eşitliğini tam olarak sağlayan üç tam sayıdan oluşan bir gruptur. En bilineni 3, 4, 5'tir. Diğerleri arasında 5, 12, 13, ardından 8, 15, 17 ve 7, 24, 25 vardır. Bir üçlüdeki her sayıyı aynı sayıyla çarparsan, 6, 8, 10 gibi başka bir üçlü elde edersin.
Örnek
8, 15, 17'yi kontrol et. 8² = 64 ve 15² = 225. İkisinin toplamı 289. Ve 17² = 289. Uyuyor. 3, 4, 5'i iki katına çıkarmak 6, 8, 10'u, üç katına çıkarmak da 9, 12, 15'i verir. Bunların ikisi de uyar. Birkaç üçlüyü ezbere bilmek, birçok alıştırmada cevapları anında görmeni sağlar.
Cevap kesin mi, yoksa yaklaşık mı?
Pisagor teoreminden çıkan cevap kesindir ama her zaman tam sayı değildir. İki dik kenarı 1 olan bir dik üçgenin hipotenüsü tam olarak √2'dir. √2 ondalık olarak yazıldığında hiç bitmez, bu yüzden 1,414 yalnızca yaklaşık bir değerdir. Birçok öğretmenin cevabı √2 olarak bırakmanı istemesinin nedeni budur.
Örnek
Ondalık hâlini kontrol et. 1,414² = 1,999396, bu da 2'ye yakındır ama 2'ye eşit değildir. Kesin uzunluk √2 değeridir. Soru kesin bir cevap istediğinde √2 yaz, yalnızca ondalık bir cevap istediğinde yuvarla, örneğin iki ondalık basamağa (1,41).
Pisagor teoremi gerçek hayatta nerede kullanılır?
Pisagor teoremi, doğrudan ölçülemeyen bir mesafeye ihtiyaç duyulan her durumda kullanılır. İnşaatçılar köşelerin dik olup olmadığını kontrol etmek için, insanlar bir merdiveni güvenle yerleştirmek için onu kullanır, ekran boyutları onunla ölçülür ve bir haritada iki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafeyi verir.
Örnek
Bir merdiven 4 m uzunluğunda ve ayağı duvardan 1 m uzakta duruyor. Duvarda ne kadar yükseğe ulaşır? Merdiven hipotenüstür, bu yüzden çıkar. 4² − 1² = 16 − 1 = 15 ve √15 yaklaşık 3,87 m eder.
Günlük hayattan birkaç kullanım daha:
- Ekran boyutları. 40 cm genişliğinde ve 30 cm yüksekliğinde bir ekranın köşegeni √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm'dir.
- Haritadaki mesafeler. 3 km doğuya, sonra 4 km kuzeye yürürsen, başladığın yerden kuş uçuşu 5 km uzakta olursun.
- Dik köşeler. Yukarıdaki 3, 4, 5 kontrolü duvarlarda, bahçe tarhlarında ve fayans döşenmiş zeminlerde kullanılır.
Pisagor teoremini ilk kim buldu?
Teorem adını Yunan düşünür Pisagor'dan alır ama fikir çok daha eskidir. Plimpton 322 olarak bilinen ve yaklaşık MÖ 1800'e tarihlenen bir Babil kil tableti, UNSW Sydney'deki araştırmaları anlatan bir makalenin açıkladığı gibi, Pisagor yaşamadan 1000 yıldan fazla önce Pisagor üçlülerine ait sayıları listeler. Benzer fikirler erken dönem Hint ve Çin matematiğinde de görülür.