İşlem önceliği adım adım nasıl uygulanır?
İşlem önceliğinde (İngilizcede PEMDAS) bir işlemi dört turda çözersin. Önce parantezin içindekiler, sonra üslü ifadeler, ardından soldan sağa çarpma ve bölme, en son da soldan sağa toplama ve çıkarma yapılır. Her turdan sonra satırın tamamını yeniden yaz, böylece bir hata olursa sonradan kolayca fark edersin.
Örnek
3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8 işlemini yap.
- Parantez: 6 − 2 = 4, geriye 3 + 4 × 4² ÷ 8 kalır
- Üslü ifadeler: 4² = 16, geriye 3 + 4 × 16 ÷ 8 kalır
- Soldan sağa çarpma ve bölme: 4 × 16 = 64, sonra 64 ÷ 8 = 8, geriye 3 + 8 kalır
- Toplama ve çıkarma: 3 + 8 = 11
Satırı yeniden yazmak yavaş gibi gelir. Yine de hatalara karşı en iyi korumadır. Sık yapılan bir hata, en başta 3 ile 4'ü toplamaktır. Bu 7 eder ve sonuç yanlış çıkar.
PEMDAS'ta çarpma bölmeden önce mi gelir?
Hayır. Çarpma ile bölme aynı seviyededir, toplama ile çıkarma da öyle. Her çiftin içinde sadece soldan sağa gidersin. PEMDAS'ta M'nin D'den önce gelmesinin tek sebebi, bir kelimede harflerin bir sıraya dizilmek zorunda olmasıdır. Harfleri katı bir sıralama gibi okumak, işlem önceliğinde en sık yapılan hatalardan biridir.
Örnek
24 ÷ 4 × 2 işlemini yap.
- Soldan ilk gelen bölmedir: 24 ÷ 4 = 6
- Sonra çarpma: 6 × 2 = 12
Önce çarparsan 24 ÷ 8 = 3 bulursun ve bu yanlıştır. Toplama ve çıkarma da aynı şekilde işler. 10 − 4 + 3 işleminde soldan sağa gidince 6 + 3 = 9 olur. Önce toplarsan 10 − 7 = 3 bulursun, bu da yanlıştır.
Ücretsiz ders kitabı OpenStax Prealgebra 2e bunu açıkça söyler. Çarpma ve bölme eşit önceliğe sahip olduğu için soldan sağa sırayla yapılır. Pek çok yetişkin bu ayrıntıyı okuldan hatırlamaz ve internetteki matematik bilmecesi tartışmalarının çoğunun arkasında bu vardır.
PEMDAS, BODMAS ve BIDMAS arasındaki fark nedir?
Kurallarda hiçbir fark yok, fark sadece kelimelerde. PEMDAS, parentheses (parantez) için P ile başlar, BODMAS ve BIDMAS ise brackets için B ile başlar. E (exponents), O (orders) ve I (indices) harflerinin hepsi üsleri ve kökleri ifade eder. Her sürüm çarpma ile bölmeyi bir seviyeye, toplama ile çıkarmayı da bir sonraki seviyeye koyar.
Örnek
2 + 3 × 4² işlemini her sürümü aklında tutarak yap.
- Önce üslü ifadeler: 4² = 16
- Sonra çarpma: 3 × 16 = 48
- Sonra toplama: 2 + 48 = 50
BODMAS'ta D tesadüfen M'den önce yazılır, PEMDAS'ta ise M, D'den önce gelir. İkisi de burada 50 verir ve iki sürüm her işlemde aynı sonucu verir. Harflerin sırası kafanı karıştırmaya devam ediyorsa, kuralı altı harf yerine dört seviye olarak yazmak işe yarayabilir: parantezler, üsler, çarpma veya bölme, toplama veya çıkarma.
İşlem önceliğine neden ihtiyacımız var?
Ortak bir sıra olmasaydı, 2 + 3 × 4 gibi bir satır iki farklı anlama gelebilirdi. Önce toplarsan 20 bulursun. Önce çarparsan 14 bulursun. Kabul edilen kurala göre çarpma önce gelir, yani cevap 14'tür. Kuralın amacı basitçe şudur: aynı işlemi okuyan herkes aynı sonucu bulsun.
Örnek
Bir arkadaşın tanesi 4 jetondan 3 defter ve 2 jetona bir kalem alıyor. Toplam 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 jeton eder. Önce toplasaydın 5 × 4 = 20 bulurdun, sanki kalem dört kez alınmış gibi.
Bu kural kısaltmalardan çok daha eskidir. St Andrews Üniversitesi'nin matematik tarihi arşivi MacTutor sitesine göre, çarpmanın toplama ve çıkarmadan önce yapılması 16. yüzyılda, sembolik cebirin ilk kitaplarında zaten kuraldı. Aynı sayfa, 1920'lerin sonunda yazan bir tarihçiden alıntı yapar. Bu tarihçiye göre ÷ işaretinin mi yoksa × işaretinin mi önce gelmesi gerektiği konusunda hâlâ bir uzlaşma yoktu.
8 ÷ 2(2 + 2) işleminin cevabı nedir?
İşlem önceliğini okulda öğretildiği gibi uygularsan 8 ÷ 2(2 + 2) işleminin sonucu 16 olur. Önce parantez gelir ve 4 verir. Parantezin hemen önüne yazılan 2 çarpma anlamına gelir. Bölme ve çarpma soldan sağa yapıldığı için 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16 olur.
Örnek
İşte iki okuma yan yana.
- Soldan sağa: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
- 2(2 + 2) tek bir blok sayılırsa: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1
Asıl sorun, işlemin nasıl yazıldığıdır. Berkeley matematik bölümünün web sitesindeki bir not, bu tür ifadeler için standart bir kural olmadığına dikkat çeker, çünkü bir sayıyı parantezin hemen yanına yazmak ikisinin birlikte olduğunu düşündürür. Matematikçiler bu tartışmanın tamamından ek parantezlerle kaçınır: (8 ÷ 2)(2 + 2) ya da 8 ÷ (2(2 + 2)).
Kesir çizgisi de aynı şekilde gruplar. Kesir çizgisinin üstünde 6 + 4, altında 2 yazıyorsa önce toplarsın, yani cevap 10 ÷ 2 = 5 olur.
İşlem önceliğinde en sık yapılan hatalar nelerdir?
Hataların çoğu, kısaltmayı sabit sırada altı ayrı adım gibi okumaktan kaynaklanır. Bu da insanların bölmeden önce çarpmasına ya da çıkarmadan önce toplamasına yol açar. Diğer hatalar, kesir çizgisinin üstündekini ve altındakini grupladığını unutmak ve negatif bir sayının karesini parantezi olmadan almaktır. Her adımdan sonra satırı yeniden yazmak bunların çoğunu yakalar.
Tekrar tekrar karşına çıkan hatalar
- Bölmeden önce çarpmak. 24 ÷ 4 × 2 işleminde soldan sağa git: 6 × 2 = 12.
- Çıkarmadan önce toplamak. 10 − 4 + 3 işleminde soldan sağa git: 6 + 3 = 9.
- Negatif bir sayının karesini almak. −3², −(3²) = −9 demektir, ama (−3)² = 9 olur. Eksi işaretinin karesinin alınıp alınmayacağına parantez karar verir.
- Dıştaki parantezle başlamak. 2 × [5 + (3 − 1)²] işleminde içeriden başla: 3 − 1 = 2, sonra 2² = 4, sonra 5 + 4 = 9 ve en son 2 × 9 = 18.
- Kesir çizgisini görmezden gelmek. Önce payı ve paydayı ayrı ayrı hesapla, sonra böl.
İşlem önceliği nasıl çalışılır?
Bu kuralı çalışmanın en iyi yolu kısa ve sık işlemlerdir. İşlem önceliği oyununda her saldırı, (5 + 3) × 7 gibi karışık bir işlemdir. Parantezi hesaplar, çarpar ve saldırıyı yapmak için 56 yazarsın.
Üslü ifadeler pek çok kişiyi yavaşlatır, özellikle negatif sayılarla. Takıldığın yer burasıysa önce üslü sayılar oyununu dene. Ondan sonra üslü ifadeler içeren uzun işlemleri çözmek daha kolay olur.
Kuralın adı, onu nerede öğrendiğine bağlıdır. ABD'de PEMDAS, Birleşik Krallık'ta ise BODMAS ya da BIDMAS denir. Diğer diller kendi kısa ifadelerini kullanır, ama altta yatan kural her yerde aynıdır. Türkiye'de ise buna işlem önceliği diyoruz.
Ortak bir kural herkesin aynı cevabı bulmasını sağlar
İşlem önceliği bir doğa kanunu değil, bir uzlaşmadır ve ancak herkes aynı kuralı kullandığı için işe yarar. Önce parantezler, sonra üsler, ardından soldan sağa çarpma ve bölme, sonra soldan sağa toplama ve çıkarma. Bir işlem hâlâ iki şekilde okunabiliyorsa parantez ekle, tartışma biter.
Sırada bunları çalış