1 asal sayı mıdır? Asal sayılar nedir ve hızlıca nasıl anlaşılır

Asal sayı nedir?

1 asal sayı mıdır? Hayır. Asal sayı, tam olarak iki farklı böleni olan bir doğal sayıdır: 1 ve sayının kendisi. Örneğin 7 asaldır, çünkü onu kalansız yalnızca 1 ve 7 böler. 1 sayısının yalnızca bir böleni vardır, bu yüzden bu kuralı karşılamaz. Bileşik sayı da değildir, bu da 1'i kendi başına ayrı bir gruba koyar.

1 asal sayı mıdır?

Hayır, 1 asal sayı değildir. Bir asal sayının tam olarak iki farklı böleni olmalıdır, 1'in ise yalnızca bir böleni vardır. Bileşik sayı da değildir, çünkü bileşik sayıların ikiden fazla böleni vardır. Bu yüzden matematikçiler 1'i ne asal ne de bileşik sayı olarak sınıflandırır. En küçük asal sayı 2'dir ve bölenleri 1 ve 2'dir.

Örnek

1'den 6'ya kadar sayıların bölenleri şunlardır.

• 1'in bir böleni vardır (1), bu yüzden ne asal ne de bileşiktir.
• 2'nin iki böleni vardır (1 ve 2), bu yüzden asaldır.
• 3'ün iki böleni vardır (1 ve 3), bu yüzden asaldır.
• 4'ün üç böleni vardır (1, 2 ve 4), bu yüzden bileşiktir.
• 5'in iki böleni vardır (1 ve 5), bu yüzden asaldır.
• 6'nın dört böleni vardır (1, 2, 3 ve 6), bu yüzden bileşiktir.

Yalnızca 1'in tek bir böleni vardır. Her asal sayının tam olarak iki, her bileşik sayının ise üç ya da daha fazla böleni vardır.

Noktalarla görmek

Bunu kâğıt üzerinde noktalarla ya da düğme gibi küçük nesnelerle dene. Altı nokta, 2 sıra ve her sırada 3 nokta olacak şekilde bir dikdörtgen oluşturabilir, bu yüzden 6 bileşiktir. Yedi nokta ise nasıl denersen dene yalnızca 7 noktalık tek bir sıra oluşturur, bu yüzden 7 asaldır. Tek bir noktayla düzenlenecek hiçbir şey yoktur, bu da 1'in farklı davrandığını başka bir yoldan gösterir.

Neden bu kadar çok kişi 1'i asal sanıyor

Çoğumuz asal sayının "yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen sayı" olduğunu öğrendik. Bu tanıma göre 1 uygun görünür. Püf noktası şu: Burada 1 ile "kendisi" aynı sayıdır, bu da iki değil tek bir bölen verir. Bu yüzden dikkatli tanımlar tam olarak iki farklı bölenden söz eder ya da yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen "1'den büyük bir doğal sayı" der.

İnternette 1'in "eskiden asal olduğunu" da okuyabilirsin. Gerçek tarih daha karışıktır. Antik Yunan matematikçileri 1'i hiç sayı olarak görmüyordu, sonraki matematikçiler de bu konuda anlaşamadı. Scientific American'ın bu sorunun tarihini anlatan yazısında açıkladığı gibi, İngiliz matematikçi G. H. Hardy ders kitabının ilk baskılarında 1'i hâlâ asal sayılar arasında sayıyordu ve bunu 1938'de değiştirdi. Bugün matematikçiler 1'in asal olmadığı konusunda hemfikir.

Yıllarca matematik okumuş yetişkinler de burada bazen tereddüt eder. Çocuğun 1'e asal dediyse ve cevabı yanlış sayıldıysa, düşüncesi hiç de saçma değildi. Hatırladığı kuralda yalnızca küçük bir ayrıntı eksikti.

2 asal sayı mıdır?

Evet. 2 en küçük asal sayıdır ve tek çift asal sayıdır. Diğer her çift sayı 2'ye bölünebilir, bu da ona en az üç bölen verir (1, 2 ve kendisi). Yani 2'den sonra her asal sayı tektir, ama pek çok tek sayı da bileşiktir.

0 asal sayı mıdır?

Hayır. Sıfır ne asal ne de bileşiktir. 0 dışındaki her tam sayı 0'ı kalansız böler, bu yüzden 0'ın ikiden çok daha fazla böleni vardır. Asal ve bileşik kavramları yalnızca 1'den büyük doğal sayılar için kullanılır, bu da hem 0'ı hem de 1'i bu iki grubun dışında bırakır.

Bir sayının asal olup olmadığını hızlıca nasıl anlarsın?

Sayıyı yalnızca küçük asal sayılara böl ve 2, 3, 5 ve 7 ile başla. Test ettiğin asal sayının kendisiyle çarpımı senin sayından büyük olduğunda durabilirsin. Bu asal sayılardan hiçbiri sayıyı kalansız bölmüyorsa, sayı asaldır. 100'ün altındaki her sayı için 2, 3, 5 ve 7'yi test etmek yeterlidir.

Örnek

91 asal mı?

1. Tek sayıdır, bu yüzden 2 onu bölmez.
2. Rakamlarının toplamı 9 + 1 = 10'dur. Bu, 3'ün katı değildir, bu yüzden 3 onu bölmez.
3. 0 ya da 5 ile bitmez, bu yüzden 5 onu bölmez.
4. 7'yi dene. 7 × 13 = 91 olduğundan 91 asal değildir.

97 asal mı? Tek sayıdır, rakamlarının toplamı 16'dır ve 0 ya da 5 ile bitmez. Bölme işlemi 97 ÷ 7 = 13, kalan 6 sonucunu verir. Sonraki asal sayı 11'dir ve 11 × 11 = 121 zaten 97'den büyüktür. Burada durabilirsin, yani 97 asaldır.

Neden erken durabilirsin

Bölenler çiftler halinde gelir. 36 için çiftler 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 ve 6 × 6'dır. Her çiftte bölenlerden biri 6 ya da daha küçüktür, çünkü 6 × 6 = 36. Yani o noktaya kadar bölen bulamazsan, ötesinde de yoktur.

Hızlı filtreler

• Bir sayı 0, 2, 4, 6 ya da 8 ile bitiyorsa 2'ye bölünür. Bunlardan yalnızca 2'nin kendisi asaldır.
• Rakamlarının toplamı 3'ün katıysa sayı 3'e bölünür. Bunlardan yalnızca 3'ün kendisi asaldır.
• Bir sayı 0 ya da 5 ile bitiyorsa 5'e bölünür. Bunlardan yalnızca 5'in kendisi asaldır.
• 7 için doğrudan böl.

Hız, çok sayıda sayı görmekten gelir. Filtreler tanıdık gelmeye başladığında, Math Max'te birkaç tur zamana karşı asal sayı bulmak onları alışkanlığa dönüştürür, çünkü her doğru cevap rakip dövüşçüye bir saldırıdır. Oyun tarayıcıda ücretsiz çalışır, yani hiçbir şey yüklemen gerekmez.

Hangi sayılar asal görünür ama değildir?

Klasik tuzak sayılar 51, 57 ve 91'dir. Tek sayıdırlar, 5 ile bitmezler ve asal gibi görünürler. Ama 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 ve 91 = 7 × 13. Tuzak sayıların çoğu, rakamlar toplamına dayanan 3 ile bölünebilme kuralıyla ya da 7'ye hızlı bir bölmeyle yakalanır.

Örnek

• 39 = 3 × 13. Rakamlarının toplamı 12'dir, yani 3'ün katıdır.
• 51 = 3 × 17. Rakamlarının toplamı 6'dır, yani 3'ün katıdır.
• 57 = 3 × 19. Rakamlarının toplamı 12'dir, yani 3'ün katıdır.
• 87 = 3 × 29. Rakamlarının toplamı 15'tir, yani 3'ün katıdır.
• 91 = 7 × 13. 7'ye bölmek onu yakalar.
• 119 = 7 × 17. 7'ye bölmek onu yakalar.
• 133 = 7 × 19. 7'ye bölmek onu yakalar.

Uzmanlar bile yanılır

57 sayısına şaka yollu Grothendieck asalı denir. Bu ad, ünlü matematikçi Alexander Grothendieck'in bir keresinde onu asal sayı örneği olarak kullandığına dair anlatılan bir hikâyeden gelir.

Matematik blogu The Aperiodical çevrimiçi bir "Is this prime?" oyununun sonuçlarını analiz ettiğinde, 51'in 57'den bile daha sık asal sanıldığı görüldü. Birçok oyuncu 39'u da asal saydı. En sık yanlışlıkla bileşik sanılan asal sayı 59'du, yani hatalar iki yönde de oluyor.

Bu yanılgıların çoğuna iki yanlış kestirme yol açar. Biri "tek sayılar asaldır" fikridir ve 9, 15 ve 21 bunu çürütür. Diğeri "1, 3, 7 ya da 9 ile biten sayılar asaldır" fikridir, ama bu son rakamlar yalnızca 2 ve 5'in bölen olmasını dışarıda bırakır.

100'e kadar asal sayılar

Emin olamadığında listeye bak. 100'ün altında 25 asal sayı vardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97.

Bu liste hiç bitmez, çünkü Antik Yunan matematikçi Öklid sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtlamıştır.

Bütün kural: iki farklı bölen

Bir asal sayının tam olarak iki farklı böleni olmalıdır, 1'in ise yalnızca bir böleni vardır, bu yüzden 1 asal değildir. Aynı kural 2'nin neden asal olduğunu ve 0'ın neden asal olmadığını da açıklar. Bir sayıyı hızlıca kontrol etmek için küçük asal sayıları dene, karekökte dur ve 51 ve 91 gibi tuzaklara dikkat et.