Fi, ünü kendinden büyük bir sayı
Matematikçiler onu Yunan harfi φ (fi) ile yazar ve ayçiçeklerinde, ünlü yapılarda ve güzel yüzlerde saklandığı söylenir. Bu ünün bir kısmı hak edilmiş, ama büyük kısmı değil. Önce matematiğe bakalım, sonra altın oranın gerçekte nerede karşımıza çıktığını dürüstçe görelim.
Altın oran nasıl hesaplanır?
Altın oran φ = (1 + √5) ÷ 2 formülüyle hesaplanır. 5'in karekökü yaklaşık 2,236'dır. Buna 1 ekleyip 2'ye bölünce yaklaşık 1,618 elde edilir. φ irrasyonel bir sayı olduğu için ondalık basamakları hiç bitmez ve tekrar etmez. Günlük kullanımların çoğu için 1,618 yeterince yakındır.
Örnek
Hesap makinesiyle üç adımda bulalım.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 ÷ 2 = 1,618
Yani φ ≈ 1,618. Daha fazla hassasiyet gerekirse virgülden sonra on basamakla φ = 1,6180339887.
(1 + √5) ÷ 2 nereden geliyor?
Bir doğru parçası alın ve onu uzun bir a parçasına ve kısa bir b parçasına bölün. Bütün doğrunun uzun parçaya oranı, uzun parçanın kısa parçaya oranına eşitse bu bölme altın orandır. Sembollerle (a + b) ÷ a = a ÷ b. Bu ortak değer φ'dir.
Şimdi kısa parçayı 1 yapalım, böylece uzun parça φ olur. Kural (φ + 1) ÷ φ = φ hâline gelir. İki tarafı φ ile çarparsak φ² = φ + 1, yani φ² − φ − 1 = 0 elde ederiz. Bu ikinci dereceden bir denklemdir ve pozitif kökü (1 + √5) ÷ 2'dir. Britannica da aynı düzenlemeyi x² − x − 1 = 0 biçiminde anlatır.
1,618; 0,618 ve 2,618 neden bu kadar benzer?
φ² = φ + 1 olduğu için φ'nin karesini almak sadece 1 ekler. Yani φ² ≈ 2,618. Aynı denklemi φ'ye bölersek φ = 1 + 1 ÷ φ olur. Bu da 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0,618 demektir. Üç farklı sayının aynı ondalık basamaklara sahip olmasının nedeni budur.
Altın oranı özel yapan nedir?
Altın oran özeldir, çünkü karesi kendisinin bir fazlası, tersi ise kendisinin bir eksiği olan tek pozitif sayıdır. Ayrıca geometriyi ve saymayı birbirine bağlar. Aynı değer bir doğruyu dengeli biçimde böldüğünüzde, düzgün bir beşgen çizdiğinizde ve ardışık Fibonacci sayılarını birbirine böldüğünüzde ortaya çıkar.
Örnek
Kenarları 1 olan düzgün bir beşgende her köşegen (bir köşeden komşu olmayan bir köşeye çizilen doğru) tam φ uzunluğundadır, yani yaklaşık 1,618. Bu yüzden beşgenin içine çizilen beş köşeli yıldız altın oranlarla doludur. Yıldızın her kolu diğer çizgiler tarafından altın oranda kesilir.
Fikir çok eskidir. Britannica bunu, Elemanlar adlı eserinde "uç ve orta oran" adını veren Öklid'e kadar götürür.
Altın oran pi sayısıyla aynı mı?
Hayır. Pi (π ≈ 3,14) bir çemberin çevresinin çapına oranıdır. Altın oran (φ ≈ 1,618) ise bir doğruyu bölmekten gelir. İkisi de sonsuz ondalık basamaklı irrasyonel sayılardır ve insanlar muhtemelen bu yüzden ikisini karıştırır. Değerleri farklıdır ve farklı şekillerden gelirler.
Altın oran ile Fibonacci dizisi aynı şey mi?
Altın oran ile Fibonacci dizisi aynı şey değildir, ama birbirine sıkı sıkıya bağlıdır. Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki iki sayının toplamı olduğu bir tam sayı listesidir. Her Fibonacci sayısını bir öncekine bölerseniz sonuçlar altın orana giderek yaklaşır.
Örnek
Fibonacci dizisinden ardışık sayılar alıp bölün.
- 5 ÷ 3 ≈ 1,667
- 8 ÷ 5 = 1,6
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 ≈ 1,615
- 34 ÷ 21 ≈ 1,619
- 89 ÷ 55 ≈ 1,618
Sonuçlar 1,618'in bir üstüne bir altına zıplar ve hızla oturur. 144 ÷ 89'a gelindiğinde sonuç virgülden sonra üç basamağa kadar φ ile aynıdır. Bu, çocuklar için güzel bir hesap makinesi etkinliğidir, çünkü sıradan bölmeden bir örüntünün doğduğunu görebilirler.
Bir sayı listesinin ardındaki kuralı bulmak Fibonacci'nin çok ötesine geçen bir beceridir. Sayı örüntüleri oyununda her saldırı eksik sayılı bir dizidir ve kuralı rakibinizden önce fark etmeniz gerekir.
Yukarıdaki turda her sayı bir öncekinden 5 fazladır, yani eksik sayı 24'tür.
Altın dikdörtgen nasıl çizilir?
Altın dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarının yaklaşık 1,618 katıdır. Çizmek için kısa kenarı 1,618 ile çarpın ya da kısa kenarı bulmak için uzun kenarı 1,618'e bölün. Hiç ondalık ölçmeden, bir kareden başlayarak pergelle tam olarak da çizebilirsiniz.
Örnek
Kısa kenar 10 cm ise uzun kenar 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm olur. Bir sayfa 1000 piksel genişliğindeyse ve altın oranlı bir bölme istiyorsanız φ'ye bölün. Yaklaşık 618 piksellik bir ana sütun ve yaklaşık 382 piksellik bir yan sütun elde edersiniz.
Pergelle çizmek için şu adımları izleyin.
- Kenarları 1 olan bir kare çizin (örneğin 1 desimetre).
- Alt kenarın orta noktasını işaretleyin.
- Pergelin sivri ucunu bu orta noktaya koyun ve karşı taraftaki üst köşeye ulaşacak kadar açın. Bu uzaklık √5 ÷ 2, yani yaklaşık 1,118'dir.
- Pergeli uzatılmış alt çizgiye doğru indirin. Yeni uzunluk 0,5 + 1,118 = 1,618 olur.
- Dikdörtgeni tamamlayın. Kenarları 1 ve φ'dir.
Bir altın dikdörtgenden kareyi kesip çıkarırsanız kalan parça yine bir altın dikdörtgendir. Bunu tekrarlayıp her kareye çeyrek çember çizerseniz altın oran görsellerinde sık sık görülen sarmalı elde edersiniz. Bu tür geometri, şekillerin, açıların ve alanların hızlı görevlere dönüştüğü geometri oyununda da var.
Altın oran doğada nerede görülür?
Doğadaki en net örnek, birçok bitkinin yapraklarını ve tohumlarını dizme biçimidir. Ayçiçeği tablasındaki her yeni tohum, bir öncekine göre aşağı yukarı aynı açıyla, yaklaşık 137,5° dönerek büyür. Bu altın açı tohumları boşluksuz ve sıkıca yerleştirir ve sayıları çoğu zaman Fibonacci sayısı olan sarmallar oluşturur.
Örnek
Altın açı doğrudan φ'den gelir. Tam bir dönüşü φ²'ye bölerseniz 360° ÷ 2,618 ≈ 137,5° elde edersiniz. Başka bir bakışla bu dönüş çemberi altın oranda iki yaya ayırır, yaklaşık 222,5° ve 137,5°.
Nottingham Üniversitesi araştırmacılarının 2022 tarihli derlemesi The Golden Ratio in Nature, birçok farklı ölçekten örnekleri bir araya getirir ve oranın "pek çok farklı bilim ve sanat alanında ortaya çıkma eğilimini" anlatır. Eğilim doğru kelimedir. Pek çok bitki başka örüntüler izler, yani bu bir doğa yasası değildir.
Nautilus kabuğu bir altın sarmal mı?
Genellikle hayır. Nautilus, büyüdükçe şeklini koruyan logaritmik bir sarmal hâlinde büyür ve bu kendi başına güzeldir. Gerçek kabuklar ölçüldüğünde genellikle φ'den farklı bir büyüme oranı çıkar. Bir nautilus fotoğrafının üstüne çizilen altın sarmal güzel bir resimdir, bir ölçüm değil.
Altın oran sanatta, binalarda ve yüzlerde gerçekten var mı?
Çoğunlukla hayır. Parthenon'un, ünlü tabloların ya da çekici yüzlerin altın orana uyduğu iddiaları dikkatli ölçümler karşısında çöker. UNSW'den matematikçi Thomas Britz, 2022'de The Conversation için yazdığı makalede φ'nin antik Yunan sanatında ve mimarisinde çok nadir bulunduğunu açıklar.
Örnek
Parthenon hakkındaki yaygın iddia, ön cephesinin bir altın dikdörtgene oturduğudur. Britz, dikkatli hesapların bu iddianın yanlış olduğunu gösterdiğini yazar. Ünlülere puan veren "altın oran yüz testleri" için de aynısı geçerlidir. Dayandıkları yüz maskesi çürütülmüştür ve bir yüzün güzel olup olmadığına karar veren tek bir sayı yoktur.
Efsanenin yaşamaya devam etmesinin yaygın bir nedeni, sadece işine gelen örnekleri seçmektir. Hemen her binada ya da yüzde, özellikle nereden ölçeceğinizi siz seçiyorsanız, oranı 1,6'ya yakın bir uzunluk çifti bulunur. 3 ÷ 2 = 1,5 ya da 16 ÷ 9 ≈ 1,78 gibi oranlar da göze hoş gelir ve ekranlarda ve fotoğraflarda çok daha yaygındır. Adil bir test birçok nesneyi inceler ve tutanların yanında tutmayanları da sayar.
Sanatçılar ve tasarımcılar altın oranı bilerek kullanır mı?
Bazıları kullanır. Tasarımcılar bazen sayfa düzenleri, resim çerçeveleri ya da yazı tipi boyutları için 1,618'i başlangıç noktası olarak alır, çünkü ne fazla eşit ne de fazla dengesiz bir bölme verir. Bu bir tasarım tercihidir, oranın güzel olan her şeyde gizli olduğunun kanıtı değil. Başka herhangi bir düzgün oran gibi işe yarar.
Altın oran bir güzellik kuralı değil, gerçek matematiktir
Altın oran (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618 olan kesin bir sayıdır ve matematikçileri gülümseten özelliklere sahiptir. Karesini almak 1 ekler, 1'i ona bölmek 1 çıkarır ve Fibonacci sayılarının oranları ona doğru yaklaşır. Birçok bitkinin tohum sarmallarını biçimlendirir. Yüzler ve ünlü binalar hakkındaki hikâyelerin çoğu ise istenen sonucu bulmak için yapılmış ölçümlerdir.
Bir çocukla keşfetmenin iyi bir yolu işi uygulamalı tutmaktır. Hesap makinesinde Fibonacci sayılarını bölün, pergelle bir altın dikdörtgen çizin ya da bir çam kozalağındaki sarmalları sayın. Her biri gerçek bir örüntü gösterir ve hiçbirinin ilginç olmak için bir efsaneye ihtiyacı yoktur.