Heltal på tallinjen
På en tallinje är heltalen de jämnt fördelade punkter du landar på när du räknar framåt eller bakåt från 0. Tal som 1/2, 3,5 eller √2 ligger i mellanrummen, så de är inte heltal. Här ser du hur du skiljer dem åt, varför noll räknas och hur teckenreglerna för heltal egentligen fungerar.
Hur vet man om ett tal är ett heltal?
Ett tal är ett heltal om du kan skriva det utan bråk och utan decimaler. Det kan vara positivt, negativt eller noll. Den engelskspråkiga läroboken OpenStax Prealgebra 2e uttrycker det enkelt, heltalen är talen vi räknar med, deras motsatta tal och noll. Alltså är 7, −7 och 0 heltal, men inte 7,5.
Exempel
Testa de här snabba kontrollerna.
- −12 är ett heltal, eftersom det är det motsatta talet till 12.
- 0 är ett heltal.
- 3,5 är inte ett heltal, eftersom det har decimaler.
- 1/2 är inte ett heltal.
- 8/2 är ett heltal, eftersom 8/2 = 4.
- √9 är ett heltal, eftersom √9 = 3.
- √2 är inte ett heltal, eftersom det är ungefär 1,41.
De sista exemplen visar en användbar vana. Räkna ut värdet först och bestäm dig sedan. Ett tal kan se ut som ett bråk eller en rot och ändå visa sig vara ett heltal.
Är 0 ett heltal?
Ja, 0 är ett heltal. Det ligger mitt på tallinjen, mellan de negativa och de positiva heltalen. Noll är varken positivt eller negativt, vilket OpenStax också säger rakt ut. Däremot är noll ett jämnt tal, eftersom 0 = 2 · 0, så det går att dela med 2 utan rest.
Är negativa tal heltal?
Negativa tal är heltal bara när de saknar bråkdel och decimaler. −5 och −100 är heltal. −2,5 och −3/4 är negativa, men de är inte heltal. Samma test fungerar för alla tal, oavsett tecken.
Vad är skillnaden mellan naturliga tal och heltal?
I svensk skola är de naturliga talen 0, 1, 2, 3 och så vidare, utan negativa tal. Heltalen innehåller alla dessa plus de negativa talen −1, −2, −3 och så vidare. Så −4 är ett heltal men inte ett naturligt tal. Vissa böcker, särskilt äldre eller utländska, låter de naturliga talen börja på 1, så kolla vilken definition ditt barns skola använder.
Exempel
Så här passar de viktigaste talmängderna in i varandra.
- Positiva heltal: 1, 2, 3, 4, …
- Naturliga tal (ℕ): 0, 1, 2, 3, 4, …
- Heltal (ℤ): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Rationella tal: alla tal som kan skrivas som ett bråk av heltal, till exempel 1/2, −3/4 och 7 (som är 7/1)
Matematiker skriver mängden av heltal som ℤ. Bokstaven kommer från det tyska ordet Zahlen, som betyder ”tal”. Du ser också ℕ för de naturliga talen. Även här finns en liten oenighet, eftersom vissa böcker börjar dem på 0 och andra på 1.
Var ser man heltal i vardagen?
Heltal dyker upp så fort man räknar uppåt och nedåt från en nollpunkt. Temperaturer under fryspunkten, våningar under marken, djup under havsytan och ett fotbollslags målskillnad är alla heltal som kan vara negativa. I varje fall är 0 en referenspunkt, inte ”ingenting”.
Exempel
På morgonen är det −4 °C, och fram till lunch stiger temperaturen 7 grader. Börja på −4 och räkna 7 steg uppåt längs tallinjen, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Vid lunch är det 3 °C, så −4 + 7 = 3.
I en hiss där entréplanet är 0 kan garaget ligga på −2, och femte våningen ovanför entrén är 5. Att åka från −2 till 5 innebär 7 våningar, eftersom 5 − (−2) = 7.
Hur adderar och subtraherar man heltal?
Tänk dig en tallinje när du adderar heltal. Adderar du ett positivt tal flyttar du dig åt höger, och adderar du ett negativt tal flyttar du dig åt vänster. Att subtrahera är motsatsen till att addera, så när du subtraherar ett negativt tal flyttar du dig åt höger. Därför blir svaret större när man tar bort ett negativt tal.
Exempel
Räkna ut −3 + 5. Börja på −3 och ta 5 steg åt höger. Du passerar −2, −1, 0 och 1 och stannar på 2. Alltså är −3 + 5 = 2.
Några till att prova.
- −6 + 2 = −4, eftersom 2 steg åt höger från −6 hamnar på −4.
- −2 − 5 = −7, eftersom 5 steg åt vänster från −2 hamnar på −7.
- 4 − (−3) = 7, eftersom att subtrahera −3 är samma sak som att addera 3.
Varför blir svaret större när man subtraherar ett negativt tal?
Att subtrahera betyder ”hur stor är skillnaden?”. Skillnaden mellan 4 och −3 på tallinjen är 7 steg, så 4 − (−3) = 7. OpenStax skriver den allmänna regeln som a − (−b) = a + b. Många barn fastnar på −5 + 4, eftersom de ser ett plustecken och väntar sig ett större tal. Om man börjar på −5 och går 4 steg åt höger ser man att svaret är −1.
Varför blir minus gånger minus plus?
När du multiplicerar två heltal blir svaret positivt om tecknen är lika och negativt om de är olika. Minus gånger minus blir plus på grund av ett mönster. Varje gång det första talet minskar med 1 ändras svaret lika mycket, och mönstret fortsätter bara om svaret blir positivt.
Exempel
Se vad som händer med 3 · (−2) när det första talet minskar med 1 varje gång.
- 3 · (−2) = −6
- 2 · (−2) = −4
- 1 · (−2) = −2
- 0 · (−2) = 0
- (−1) · (−2) = 2
- (−2) · (−2) = 4
Varje svar är 2 större än det förra. För att mönstret ska fortsätta förbi noll måste (−1) · (−2) vara 2. Man kan också tänka sig att multiplikation med −1 vänder dig om på tallinjen. Vänder du dig om två gånger tittar du åt samma håll igen.
Gäller samma teckenregel vid division?
Ja. (−12) : 3 = −4 och (−12) : (−3) = 4, med samma regel om lika tecken. Det finns dock en skillnad. Addition, subtraktion eller multiplikation av två heltal ger alltid ett heltal, men division gör det inte alltid. 8 : 2 = 4 är ett heltal, medan 7 : 2 = 3,5 inte är det.
Hur blir man snabbare med heltal?
Man blir snabb med heltal genom att göra många små uträkningar tills tallinjen sitter i huvudet. I spelet med negativa tal är varje attack en snabb uträkning med negativa tal, så barnen övar teckenreglerna medan de är upptagna med att vinna striden.
I omgången ovan är det samma sak att subtrahera −17 som att addera 17, så −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Ett tals avstånd till noll kallas dess absolutbelopp, så absolutbeloppet av −5 är 5. Det är nästa sak de flesta lär sig efter heltal, och spelet om absolutbelopp gör det till en serie snabba omgångar.
Heltal är talen du når genom att räkna framåt eller bakåt
Varje heltal är ett steg du kan nå genom att räkna från 0, åt höger för positiva tal och åt vänster för negativa. Noll ligger i mitten och hör också till gruppen. Om ett barn kan se tallinjen framför sig slutar reglerna för addition, subtraktion och multiplikation att vara regler att plugga in, och de börjar i stället kännas logiska.
Träna dessa härnäst