Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1, ritad runt punkten (0, 0). Den ser ut som ännu en tabell att lära sig utantill, men egentligen är den en enda idé. När du väl ser den idén kan du återskapa varje värde på cirkeln på några sekunder, utan att plugga in en lång lista med tal.
Vad är enhetscirkeln?
Enhetscirkeln är en cirkel med radien exakt 1 och medelpunkten i origo (0, 0). Varje vinkel, mätt moturs från den positiva x-axeln, landar i en punkt på cirkeln. Den punkten har alltid koordinaterna (cos θ, sin θ). x-koordinaten är alltså vinkelns cosinus och y-koordinaten är dess sinus.
Exempel
Ta vinkeln 30°. Dra en linje från medelpunkten, 30° ovanför x-axeln, tills den når cirkeln. Punkten där den landar är (√3/2, 1/2), vilket är ungefär (0,866; 0,5). Det säger dig två saker på en gång. Cosinus för 30° är √3/2 och sinus för 30° är 1/2.
Varje punkt på cirkeln uppfyller också ekvationen x² + y² = 1. Kontrollera det med punkten för 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Ekvationen är Pythagoras sats i förklädnad, eftersom radien är den längsta sidan i en rätvinklig triangel med sidorna x och y.
Varför är cosinus x-koordinaten och sinus y-koordinaten?
Många elever kan förhållandena för sinus, cosinus och tangens men ser inte var cirkeln kommer in. Rita en rätvinklig triangel inuti cirkeln, med radien som längsta sida (hypotenusan). Den nedre sidan ligger längs x-axeln och den lodräta sidan går upp till punkten på cirkeln.
Cosinus är den närliggande kateten delad med hypotenusan. På enhetscirkeln är hypotenusan 1, så cosinus är helt enkelt längden av den nedre sidan, alltså x-koordinaten. På samma sätt är sinus den motstående kateten delad med 1, alltså höjden, eller y-koordinaten. Cirkeln tar helt enkelt bort divisionen.
Varför använder enhetscirkeln radianer?
Enhetscirkeln använder radianer eftersom vinkeln i radianer, när radien är 1, är exakt lika med längden av bågen du går längs cirkeln. Ett helt varv är 360°, och cirkelns hela omkrets är 2π. Alltså är 360° lika med 2π radianer, och 180° är lika med π radianer.
Exempel
För att göra om grader till radianer multiplicerar du med π och delar med 180. För 60° ger det 60 · π / 180 = π/3. För att gå tillbaka multiplicerar du med 180 och delar med π. Så π/4 radianer är 180 / 4 = 45°.
Vinklar som π/8 förvirrar ofta elever eftersom de inte finns med i standardtabellen. Tricket är att tänka i delar av ett halvt varv. π är ett halvt varv, π/4 är en fjärdedel av det halva varvet (45°), och π/8 är hälften av π/4, alltså 22,5°. Du placerar den mitt emellan 0 och punkten för 45°.
Radianer spelar också roll senare. I analysen fungerar reglerna för sinus och cosinus bara så här smidigt när vinklarna anges i radianer. Därför byter lärare till radianer så snart enhetscirkeln dyker upp.
Hur minns man enhetscirkeln utan att plugga in den?
Du behöver bara värdena för 0°, 30°, 45°, 60° och 90°. Allt annat på cirkeln är spegelbilder av dessa fem. Här nedan finns tre sätt att återskapa dem, och inget av dem bygger på en fras på ett visst språk. Välj det som känns mest naturligt.
Återskapa den från två trianglar
Klipp en kvadrat längs diagonalen så får du en rätvinklig triangel med två vinklar på 45°, så dess två korta sidor är lika långa. Låt den långa sidan vara 1, precis som radien. De två korta sidorna måste då uppfylla x² + y² = 1, och med x = y betyder det att var och en är √2/2. Punkten för 45° är alltså (√2/2, √2/2).
Rita nu en liksidig triangel med sidan 2 och dela den på mitten. Du får en triangel med vinklarna 30°, 60° och 90° och sidorna 1, √3 och 2. Dela varje sida med 2 så att den långa sidan blir 1. Sidorna är nu 1/2, √3/2 och 1, vilket ger dig punkterna för 30° och 60°.
Använd mönstret med kvadratrötter
Skriv talen 0, 1, 2, 3, 4 under vinklarna 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Ta kvadratroten ur varje tal och dela med 2. Den raden ger dig sinus för varje vinkel. Läs samma rad baklänges för cosinus.
- Sinus för 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosinus för samma vinklar: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Räkna på handen
Håll upp vänster hand med handflatan mot dig. Tummen står för 90°, pekfingret för 60°, långfingret för 45°, ringfingret för 30° och lillfingret för 0°. För att hitta värdena för en vinkel fäller du ned dess finger.
Räkna fingrarna på lillfingersidan av det nedfällda fingret, ta kvadratroten ur det antalet och dela med 2. Det ger sinus. Fingrarna på tumsidan ger cosinus på samma sätt.
För 30° fäller du ned ringfingret. Ett finger (lillfingret) står på dess lillfingersida, så sinus är √1/2 = 1/2. Tre fingrar står på dess tumsida, så cosinus är √3/2.
Varje metod ger samma fem punkter. Några rundor i trigonometrispelet visar snabbt om du kan plocka fram värdena för sinus och cosinus under lite tidspress. Kort och ofta återkommande övning som den här får värdena att fastna mycket bättre än ett enda långt pass.
Behöver du kunna hela enhetscirkeln utantill?
Nej. Du behöver första kvadranten (0° till 90°) och ett säkert sätt att spegla den. Elever som pluggar in hela tabellen inför ett prov glömmer den ofta några veckor senare. Elever som förstår trianglarna och speglingarna kan återskapa den när som helst, och det är vad senare områden som analys faktiskt kräver.
Hur ändras tecknen i varje kvadrant?
Cirkeln har fyra kvadranter. I varje kvadrant motsvarar koordinaternas storlek en vinkel i första kvadranten, och bara tecknen ändras. I första kvadranten är både x och y positiva. I den andra är x negativt. I den tredje är båda negativa. I den fjärde är y negativt.
Exempel
Hitta punkten för 150°. Den ligger i andra kvadranten, 30° före 180°. Den är alltså spegelbilden av punkten för 30° i y-axeln. Punkten för 30° är (√3/2, 1/2). Speglingen gör x-koordinaten negativ, så punkten för 150° är (−√3/2, 1/2).
- Första kvadranten (0° till 90°): x är positivt, y är positivt
- Andra kvadranten (90° till 180°): x är negativt, y är positivt
- Tredje kvadranten (180° till 270°): x är negativt, y är negativt
- Fjärde kvadranten (270° till 360°): x är positivt, y är negativt
En snabb kontroll är att föreställa sig punkten i ett vanligt koordinatsystem. Till vänster om y-axeln betyder att x är negativt, och under x-axeln betyder att y är negativt. Du behöver inte lära dig listan utantill om du kan se framför dig var punkten ligger.
Vad är tan på enhetscirkeln?
Tangens för en vinkel är y-koordinaten delad med x-koordinaten, så tan θ = sin θ / cos θ. För 60° är det (√3/2) : (1/2) = √3, ungefär 1,732. Vid 90° och 270° är x-koordinaten 0, och man kan inte dela med 0, så tangens är odefinierad för de vinklarna.
Vad används enhetscirkeln till?
Enhetscirkeln är anledningen till att sinus och cosinus fungerar för alla vinklar, inte bara för vinklarna i en rätvinklig triangel. Det gör den till grunden för allt som upprepas eller roterar. Ljudvågor, ljusvågor, växelström, en pendels rörelse och visarna på en klocka beskrivs alla med sinus och cosinus.
Exempel
Tänk dig en punkt som rör sig runt cirkeln med jämn fart. Dess höjd går upp till 1, ned till −1 och tillbaka igen, i en mjuk våg. Rita höjden mot tiden så får du grafen för sinusfunktionen. Ingenjörer använder exakt den här idén för att beskriva svängningar, och spel- och animationsutvecklare använder den för att rotera föremål på skärmen.
En kvadrant och två trianglar ger dig hela cirkeln
Här är de viktigaste vinklarna med sina koordinater. Använd listan som referens, men försök återskapa varje rad med trianglarna eller handtricket innan du tittar.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = odefinierad
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = odefinierad
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Om en rad känns svår, gå tillbaka till första kvadranten, hitta motsvarande vinkel och bestäm tecknen utifrån kvadranten. Den enda vanan ersätter hela listan.
Träna dessa härnäst