Är 1 ett primtal? Vad primtal är och hur du snabbt känner igen dem

Vad är ett primtal?

Är 1 ett primtal? Nej. Ett primtal är ett heltal med exakt två olika delare: 1 och talet självt. Till exempel är 7 ett primtal, eftersom bara 1 och 7 delar det jämnt. Talet 1 har bara en delare, så det uppfyller inte regeln. Det är inte heller ett sammansatt tal. Därför hamnar 1 i en grupp helt för sig själv.

Är 1 ett primtal?

Nej, 1 är inte ett primtal. Ett primtal behöver exakt två olika delare, och 1 har bara en. Det är inte heller sammansatt, eftersom sammansatta tal har fler än två delare. Därför räknar matematiker 1 som varken primtal eller sammansatt tal. Det minsta primtalet är 2, med delarna 1 och 2.

Exempel

Här är delarna till talen 1 till 6.

• 1 har en delare (1), så det är varken primtal eller sammansatt.
• 2 har två delare (1 och 2), så det är ett primtal.
• 3 har två delare (1 och 3), så det är ett primtal.
• 4 har tre delare (1, 2 och 4), så det är sammansatt.
• 5 har två delare (1 och 5), så det är ett primtal.
• 6 har fyra delare (1, 2, 3 och 6), så det är sammansatt.

Bara 1 har en enda delare. Varje primtal har exakt två, och varje sammansatt tal har tre eller fler.

Se det med prickar

Prova med prickar på papper eller med små saker som knappar. Sex prickar kan du lägga som en rektangel med 2 rader med 3 i varje, så 6 är sammansatt. Sju prickar kan bara bli en enda rad med 7, hur du än försöker, så 7 är ett primtal. Med en prick finns det inget att ordna alls. Det visar på ett annat sätt att 1 beter sig annorlunda.

Varför så många tror att 1 är ett primtal

Många av oss lärde oss att ett primtal är ett tal som "bara är delbart med 1 och sig självt". Enligt den formuleringen verkar 1 passa in. Haken är att 1 och "sig självt" är samma tal här. Det ger en delare, inte två. Därför säger noggranna definitioner exakt två olika delare. Eller så säger de "ett heltal större än 1" som bara är delbart med 1 och sig självt.

Du kanske också läser på nätet att 1 "brukade vara ett primtal". Den verkliga historien är mer blandad. Matematikerna i antikens Grekland räknade inte ens 1 som ett tal, och senare matematiker var oeniga om saken. Som Scientific American förklarar i sin genomgång av frågans historia, räknade den brittiske matematikern G. H. Hardy fortfarande 1 som primtal i tidiga upplagor av sin lärobok och ändrade det 1938. I dag är matematiker överens om att 1 inte är ett primtal.

Vuxna som har läst matematik i många år tvekar ibland här också. Om ditt barn kallade 1 ett primtal och fick svaret rättat som fel, var tanken inte dum. Regeln som barnet kom ihåg saknade bara en liten detalj.

Är 2 ett primtal?

Ja. Talet 2 är det minsta primtalet och det enda jämna. Alla andra jämna tal är delbara med 2, och då har de minst tre delare (1, 2 och talet självt). Efter 2 är alltså varje primtal udda, även om många udda tal är sammansatta.

Är 0 ett primtal?

Nej. Noll är varken ett primtal eller ett sammansatt tal. Alla heltal utom 0 delar 0 jämnt, så 0 har mycket fler än två delare. Primtal och sammansatt tal används bara om heltal större än 1. Därför hamnar både 0 och 1 utanför de två grupperna.

Hur ser du snabbt om ett tal är ett primtal?

Dela talet bara med små primtal, och börja med 2, 3, 5 och 7. Du kan sluta så fort primtalet du testar, gånger sig självt, är större än ditt tal. Om inget av de primtalen delar jämnt, är talet ett primtal. För alla tal under 100 räcker det att testa 2, 3, 5 och 7.

Exempel

Är 91 ett primtal?

1. Det är udda, så 2 delar det inte.
2. Siffersumman är 9 + 1 = 10. Det är inte en multipel av 3, så 3 delar det inte.
3. Det slutar inte på 0 eller 5, så 5 delar det inte.
4. Prova 7. Eftersom 7 × 13 = 91, är 91 inte ett primtal.

Är 97 ett primtal? Det är udda, siffersumman är 16, och det slutar inte på 0 eller 5. Division ger 97 ÷ 7 = 13 med rest 6. Nästa primtal är 11, och 11 × 11 = 121 är redan större än 97. Där kan du sluta, så 97 är ett primtal.

Varför du kan sluta tidigt

Delare kommer i par. För 36 är paren 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 och 6 × 6. I varje par är en av delarna 6 eller mindre, eftersom 6 × 6 = 36. Så om du inte hittar någon delare fram till den punkten, finns det ingen efter den heller.

De snabba filtren

• Om ett tal slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8, är det delbart med 2. Bara 2 självt är ett primtal.
• Om siffersumman är en multipel av 3, är talet delbart med 3. Bara 3 självt är ett primtal.
• Om ett tal slutar på 0 eller 5, är det delbart med 5. Bara 5 självt är ett primtal.
• För 7 dividerar du helt enkelt.

Snabbhet kommer av att se många tal. När filtren känns bekanta gör några rundor med att hitta primtal mot klockan i Math Max dem till en vana, eftersom varje rätt svar är en attack mot den andra kämpen. Det körs gratis i webbläsaren, så du behöver inte installera något.

Vilka tal ser ut som primtal men är det inte?

De klassiska fälltalen är 51, 57 och 91. De är udda, de slutar inte på 5, och de känns som primtal. Men 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 och 91 = 7 × 13. De flesta fälltal avslöjas av siffersummeregeln för 3 eller av en snabb division med 7.

Exempel

• 39 = 3 × 13. Siffersumman är 12, en multipel av 3.
• 51 = 3 × 17. Siffersumman är 6, en multipel av 3.
• 57 = 3 × 19. Siffersumman är 12, en multipel av 3.
• 87 = 3 × 29. Siffersumman är 15, en multipel av 3.
• 91 = 7 × 13. Division med 7 avslöjar det.
• 119 = 7 × 17. Division med 7 avslöjar det.
• 133 = 7 × 19. Division med 7 avslöjar det.

Även experter går i fällan

Talet 57 kallas på skämt för Grothendieck-primtalet. Namnet kommer från en historia om att den berömde matematikern Alexander Grothendieck en gång använde det som exempel på ett primtal.

När matematikbloggen The Aperiodical analyserade resultaten från ett onlinespel kallat "Is this prime?" ("Är det här ett primtal?"), togs 51 för ett primtal ännu oftare än 57. Många spelare kallade också 39 ett primtal. Det primtal som oftast felaktigt kallades sammansatt var 59. Misstagen går alltså åt båda hållen.

Två falska tumregler ligger bakom de flesta av de här missarna. Den ena är "udda tal är primtal", och det motbevisar 9, 15 och 21. Den andra är "tal som slutar på 1, 3, 7 eller 9 är primtal". Men de slutsiffrorna utesluter bara 2 och 5 som delare.

Primtal upp till 100

Är du osäker, kontrollera mot listan. Det finns 25 primtal under 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 och 97.

Listan tar aldrig slut, eftersom den antika grekiske matematikern Euklides bevisade att det finns oändligt många primtal.

Två olika delare är hela regeln

Ett primtal behöver exakt två olika delare, och 1 har bara en, så 1 är inte ett primtal. Samma regel förklarar varför 2 är ett primtal och varför 0 inte är det. Vill du kolla ett tal snabbt, testa små primtal, sluta vid kvadratroten och se upp för fällor som 51 och 91.