Wat zijn gehele getallen? Eenvoudige uitleg met voorbeelden

Gehele getallen op de getallenlijn

Op een getallenlijn zijn de gehele getallen de punten op gelijke afstand waar je op uitkomt als je vanaf 0 vooruit of achteruit telt. Getallen als 1/2, 3,5 of √2 liggen in de gaten daartussen, dus dat zijn geen gehele getallen. Hieronder lees je hoe je het verschil ziet, waarom nul meetelt en hoe de rekenregels voor plus en min echt werken.

Hoe weet je of een getal een geheel getal is?

Een getal is een geheel getal als je het zonder breuk en zonder cijfers achter de komma kunt schrijven. Het kan positief, negatief of nul zijn. Het Engelstalige lesboek OpenStax Prealgebra 2e zegt het eenvoudig, gehele getallen zijn de getallen waarmee je telt, hun tegengestelden en nul. Dus 7, −7 en 0 zijn gehele getallen, maar 7,5 niet.

Voorbeeld

Probeer deze snelle checks.

• −12 is een geheel getal, omdat het het tegengestelde is van 12.
• 0 is een geheel getal.
• 3,5 is geen geheel getal, omdat het cijfers achter de komma heeft.
• 1/2 is geen geheel getal.
• 8/2 is een geheel getal, omdat 8/2 = 4.
• √9 is een geheel getal, omdat √9 = 3.
• √2 is geen geheel getal, omdat het ongeveer 1,41 is.

De laatste paar laten een handige gewoonte zien. Reken eerst de waarde uit en beslis dan. Een getal kan eruitzien als een breuk of een wortel en toch een geheel getal blijken te zijn.

Is 0 een geheel getal?

Ja, 0 is een geheel getal. Het ligt in het midden van de getallenlijn, tussen de negatieve en de positieve gehele getallen. Nul is niet positief en ook niet negatief, dat staat ook letterlijk in OpenStax. Nul is wel even, want 0 = 2 × 0, dus het is deelbaar door 2 zonder rest.

Zijn negatieve getallen gehele getallen?

Negatieve getallen zijn alleen gehele getallen als ze geen breuk en geen cijfers achter de komma hebben. −5 en −100 zijn gehele getallen. −2,5 en −3/4 zijn negatief, maar het zijn geen gehele getallen. Dezelfde test werkt voor elk getal, welk teken het ook heeft.

Wat is het verschil tussen natuurlijke getallen en gehele getallen?

In de meeste lesboeken zijn de natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3 enzovoort, zonder negatieve getallen. De gehele getallen zijn al die getallen plus de negatieve, −1, −2, −3 enzovoort. Dus −4 is een geheel getal, maar geen natuurlijk getal. Sommige boeken laten de natuurlijke getallen bij 1 beginnen, dus kijk welke definitie de school van je kind gebruikt.

Voorbeeld

Zo passen de belangrijkste groepen in elkaar.

• Telgetallen: 1, 2, 3, 4, …
• Natuurlijke getallen (ℕ): 0, 1, 2, 3, 4, …
• Gehele getallen (ℤ): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Rationale getallen: alle getallen die je kunt schrijven als een breuk van gehele getallen, zoals 1/2, −3/4 en 7 (dat is 7/1)

Wiskundigen noteren de verzameling gehele getallen als ℤ. De letter komt van het Duitse woord Zahlen, dat “getallen” betekent. Voor de natuurlijke getallen zie je ℕ. Zelfs daarover bestaat een klein meningsverschil, want sommige boeken beginnen bij 0 en andere bij 1.

Waar zie je gehele getallen in het dagelijks leven?

Gehele getallen duiken op zodra je vanaf een nulpunt omhoog en omlaag telt. Temperaturen onder het vriespunt, verdiepingen onder de grond, diepten onder zeeniveau en het doelsaldo van een voetbalclub zijn allemaal gehele getallen die negatief kunnen zijn. In elk geval is 0 een referentiepunt en niet “niets”.

Voorbeeld

’s Ochtends is het −4 °C en tot de middag stijgt de temperatuur 7 graden. Begin bij −4 en tel 7 stappen omhoog op de getallenlijn, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Tussen de middag is het 3 °C, dus −4 + 7 = 3.

In een lift is de begane grond meestal 0, de parkeergarage kan op −2 liggen en de vijfde verdieping is 5. Van −2 naar 5 ga je 7 verdiepingen omhoog, want 5 − (−2) = 7.

Hoe tel je gehele getallen op en trek je ze af?

Stel je bij het optellen van gehele getallen een getallenlijn voor. Tel je een positief getal op, dan ga je naar rechts, tel je een negatief getal op, dan ga je naar links. Aftrekken is het omgekeerde van optellen, dus als je een negatief getal aftrekt, ga je naar rechts. Daarom krijg je een groter antwoord als je een negatief getal weghaalt.

Voorbeeld

Reken −3 + 5 uit. Begin bij −3 en zet 5 stappen naar rechts. Je komt langs −2, −1, 0 en 1 en stopt bij 2. Dus −3 + 5 = 2.

Nog een paar om te proberen.

• −6 + 2 = −4, want 2 stappen naar rechts vanaf −6 kom je uit op −4.
• −2 − 5 = −7, want 5 stappen naar links vanaf −2 kom je uit op −7.
• 4 − (−3) = 7, want −3 aftrekken is hetzelfde als 3 optellen.

Waarom wordt het antwoord groter als je een negatief getal aftrekt?

Aftrekken betekent “hoe groot is het verschil?”. Op de getallenlijn is het verschil tussen 4 en −3 precies 7 stappen, dus 4 − (−3) = 7. OpenStax schrijft de algemene regel als a − (−b) = a + b. Veel kinderen lopen vast op −5 + 4, omdat ze een plusteken zien en een groter getal verwachten. Als je bij −5 begint en 4 stappen naar rechts gaat, zie je dat het antwoord −1 is.

Waarom is min keer min plus?

Als je twee gehele getallen vermenigvuldigt, is het antwoord positief als de tekens gelijk zijn en negatief als ze verschillen. Min keer min is plus door een patroon. Elke keer dat het eerste getal 1 kleiner wordt, verandert het antwoord met hetzelfde bedrag, en dat patroon gaat alleen door als het antwoord positief wordt.

Voorbeeld

Kijk wat er met 3 × (−2) gebeurt als het eerste getal steeds 1 kleiner wordt.

• 3 × (−2) = −6
• 2 × (−2) = −4
• 1 × (−2) = −2
• 0 × (−2) = 0
• (−1) × (−2) = 2
• (−2) × (−2) = 4

Elk antwoord is 2 meer dan het vorige. Om het patroon voorbij nul door te laten lopen, moet (−1) × (−2) gelijk zijn aan 2. Je kunt het ook zo zien dat vermenigvuldigen met −1 je op de getallenlijn laat omdraaien. Draai je twee keer om, dan kijk je weer dezelfde kant op.

Geldt dezelfde tekenregel bij delen?

Ja. (−12) : 3 = −4 en (−12) : (−3) = 4, met dezelfde regel over gelijke tekens. Er is wel één verschil. Optellen, aftrekken of vermenigvuldigen van twee gehele getallen geeft altijd een geheel getal, maar delen niet altijd. 8 : 2 = 4 is een geheel getal, maar 7 : 2 = 3,5 niet.

Hoe word je sneller met gehele getallen?

Snelheid met gehele getallen komt van veel kleine sommen maken, tot de getallenlijn in je hoofd zit. In het spel met negatieve getallen is elke aanval een snelle som met negatieve getallen, zodat kinderen de rekenregels oefenen terwijl ze druk bezig zijn het gevecht te winnen.

In de ronde hierboven is −17 aftrekken hetzelfde als 17 optellen, dus −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

De afstand van een getal tot nul heet de absolute waarde, dus de absolute waarde van −5 is 5. Dat is meestal het volgende onderwerp na gehele getallen, en het spel met absolute waarde maakt er een reeks snelle rondes van.

Gehele getallen zijn de getallen die je bereikt door vooruit of achteruit te tellen

Elk geheel getal is een stap die je bereikt door vanaf 0 te tellen, naar rechts voor positieve getallen en naar links voor negatieve. Nul staat in het midden en hoort er ook bij. Als een kind die getallenlijn voor zich ziet, zijn de regels voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen geen regels meer om uit je hoofd te leren, maar gaan ze echt kloppen.