De eenheidscirkel is een cirkel met een straal van 1, getekend rond het punt (0, 0). Hij lijkt nog een tabel die je uit je hoofd moet leren, maar eigenlijk is het één enkel idee. Zodra je dat idee ziet, kun je elke waarde op de cirkel in een paar seconden zelf terugvinden, zonder een lange lijst getallen te stampen.
Wat is de eenheidscirkel?
De eenheidscirkel is een cirkel met een straal van precies 1 en het middelpunt in de oorsprong (0, 0). Elke hoek, gemeten tegen de klok in vanaf de positieve x-as, komt uit op één punt van de cirkel. Dat punt heeft altijd de coördinaten (cos θ, sin θ). De x-coördinaat is dus de cosinus van de hoek en de y-coördinaat is de sinus.
Voorbeeld
Neem een hoek van 30°. Trek vanuit het middelpunt een lijn onder 30° boven de x-as tot hij de cirkel raakt. Het punt waar hij uitkomt is (√3/2, 1/2), ongeveer (0,866; 0,5). Dat vertelt je twee dingen tegelijk. De cosinus van 30° is √3/2 en de sinus van 30° is 1/2.
Elk punt op de cirkel past ook in de vergelijking x² + y² = 1. Controleer het met het punt bij 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Deze vergelijking is de stelling van Pythagoras in vermomming, want de straal is de langste zijde van een rechthoekige driehoek met zijden x en y.
Waarom is de cosinus de x-coördinaat en de sinus de y-coördinaat?
Veel leerlingen kennen SOS CAS TOA, maar zien niet waar de cirkel in beeld komt. Teken een rechthoekige driehoek in de cirkel, met de straal als langste zijde (de schuine zijde). De onderste zijde loopt langs de x-as en de verticale zijde gaat omhoog naar het punt op de cirkel.
De cosinus is de aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde. Op de eenheidscirkel is de schuine zijde 1, dus de cosinus is gewoon de lengte van de onderste zijde, en dat is de x-coördinaat. Op dezelfde manier is de sinus de overstaande zijde gedeeld door 1, en dat is de hoogte, oftewel de y-coördinaat. De cirkel haalt de deling gewoon weg.
Waarom gebruikt de eenheidscirkel radialen?
De eenheidscirkel gebruikt radialen omdat bij een straal van 1 de hoek in radialen precies de lengte is van de boog die je langs de cirkel aflegt. Een hele draai is 360°, en de hele omtrek van de cirkel is 2π. Dus 360° is gelijk aan 2π radialen, en 180° is gelijk aan π radialen.
Voorbeeld
Om graden om te rekenen naar radialen, vermenigvuldig je met π en deel je door 180. Voor 60° geeft dat 60 × π / 180 = π/3. Om terug te rekenen, vermenigvuldig je met 180 en deel je door π. Dus π/4 radialen is 180 / 4 = 45°.
Hoeken zoals π/8 brengen leerlingen vaak in de war, omdat ze niet in de standaardtabel staan. De truc is denken in delen van een halve draai. π is een halve draai, π/4 is een kwart van die halve draai (45°), en π/8 is de helft van π/4, dus 22,5°. Je zet hem halverwege tussen 0 en het punt bij 45°.
Radialen zijn later ook belangrijk. In de differentiaalrekening werken de regels voor sinus en cosinus alleen zo mooi als de hoeken in radialen staan. Daarom stappen docenten over op radialen zodra de eenheidscirkel aan bod komt.
Hoe onthoud je de eenheidscirkel zonder hem uit je hoofd te leren?
Je hebt alleen de waarden voor 0°, 30°, 45°, 60° en 90° nodig. Al het andere op de cirkel is een spiegelbeeld van deze vijf. Hieronder staan drie manieren om ze terug te vinden, en geen ervan hangt af van een zinnetje in één bepaalde taal. Kies de manier die voor jou het natuurlijkst voelt.
Bouw hem op uit twee driehoeken
Knip een vierkant langs de diagonaal door en je krijgt een rechthoekige driehoek met twee hoeken van 45°, dus de twee korte zijden zijn even lang. Maak de lange zijde 1, net als de straal. De twee korte zijden moeten dan passen in x² + y² = 1, en met x = y betekent dat dat elk ervan √2/2 is. Het punt bij 45° is dus (√2/2, √2/2).
Teken nu een gelijkzijdige driehoek met zijden van 2 en knip hem doormidden. Je krijgt een driehoek met hoeken van 30°, 60° en 90°, met zijden 1, √3 en 2. Deel elke zijde door 2, zodat de lange zijde 1 wordt. De zijden zijn nu 1/2, √3/2 en 1, en daarmee heb je de punten voor 30° en 60°.
Gebruik het patroon met wortels
Schrijf de getallen 0, 1, 2, 3, 4 onder de hoeken 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Neem van elk getal de wortel en deel door 2. Die rij geeft je de sinus van elke hoek. Lees dezelfde rij achterstevoren voor de cosinus.
- Sinus voor 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosinus voor dezelfde hoeken: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Tel het af op je hand
Steek je linkerhand op, met je handpalm naar je toe. Je duim staat voor 90°, dan je wijsvinger voor 60°, je middelvinger voor 45°, je ringvinger voor 30° en je pink voor 0°. Om de waarden voor een hoek te vinden, buig je de bijbehorende vinger.
Tel de vingers aan de pinkkant van de gebogen vinger, neem de wortel van dat aantal en deel door 2. Dat geeft de sinus. De vingers aan de duimkant geven op dezelfde manier de cosinus.
Voor 30° buig je je ringvinger. Aan de pinkkant staat één vinger (de pink), dus de sinus is √1/2 = 1/2. Aan de duimkant staan drie vingers, dus de cosinus is √3/2.
Elke methode geeft dezelfde vijf punten. Een paar rondes in het trigonometriespel laten snel zien of je sinus- en cosinuswaarden kunt ophalen onder een beetje tijdsdruk. Kort en vaak oefenen zoals dit zorgt ervoor dat de waarden veel beter blijven hangen dan één lange sessie.
Moet je de hele eenheidscirkel uit je hoofd leren?
Nee. Je hebt het eerste kwadrant nodig (0° tot 90°) en een betrouwbare manier om het te spiegelen. Leerlingen die de hele tabel stampen voor een toets, zijn hem vaak een paar weken later weer vergeten. Leerlingen die de driehoeken en de spiegelingen begrijpen, kunnen hem op elk moment opnieuw opbouwen, en dat is precies wat latere onderwerpen zoals differentiaalrekening van je vragen.
Hoe veranderen de tekens in elk kwadrant?
De cirkel heeft vier kwadranten. In elk kwadrant komen de grootten van de coördinaten overeen met een hoek in het eerste kwadrant, en alleen de tekens veranderen. In het eerste kwadrant zijn x en y allebei positief. In het tweede is x negatief. In het derde zijn ze allebei negatief. In het vierde is y negatief.
Voorbeeld
Zoek het punt bij 150°. Het ligt in het tweede kwadrant, 30° vóór 180°. Het is dus het spiegelbeeld van het punt bij 30° in de y-as. Het punt bij 30° is (√3/2, 1/2). Door te spiegelen wordt de x-coördinaat negatief, dus het punt bij 150° is (−√3/2, 1/2).
- Eerste kwadrant (0° tot 90°): x is positief, y is positief
- Tweede kwadrant (90° tot 180°): x is negatief, y is positief
- Derde kwadrant (180° tot 270°): x is negatief, y is negatief
- Vierde kwadrant (270° tot 360°): x is positief, y is negatief
Een snelle controle is het punt voor je te zien in een gewoon assenstelsel. Links van de y-as betekent dat x negatief is, en onder de x-as betekent dat y negatief is. Je hoeft deze lijst niet uit je hoofd te leren als je kunt zien waar het punt ligt.
Wat is de tangens op de eenheidscirkel?
De tangens van een hoek is de y-coördinaat gedeeld door de x-coördinaat, dus tan θ = sin θ / cos θ. Voor 60° is dat (√3/2) : (1/2) = √3, ongeveer 1,732. Bij 90° en 270° is de x-coördinaat 0, en door 0 kun je niet delen, dus bij die hoeken is de tangens niet gedefinieerd.
Waarvoor wordt de eenheidscirkel gebruikt?
De eenheidscirkel is de reden dat sinus en cosinus voor elke hoek werken, niet alleen voor de hoeken in een rechthoekige driehoek. Daardoor is hij de basis voor alles wat zich herhaalt of draait. Geluidsgolven, lichtgolven, wisselstroom, de beweging van een slinger en de wijzers van een klok worden allemaal beschreven met sinus en cosinus.
Voorbeeld
Stel je een punt voor dat met een constante snelheid rond de cirkel beweegt. Zijn hoogte gaat omhoog naar 1, omlaag naar −1 en weer terug, in een vloeiende golf. Zet die hoogte uit tegen de tijd en je krijgt de grafiek van de sinusfunctie. Ingenieurs gebruiken precies dit idee om trillingen te beschrijven, en makers van games en animaties gebruiken het om objecten op het scherm te laten draaien.
Eén kwadrant en twee driehoeken geven je de hele cirkel
Hier zijn de belangrijkste hoeken met hun coördinaten. Gebruik de lijst als naslag, maar probeer elke regel eerst zelf op te bouwen met de driehoeken of het trucje met je hand voordat je kijkt.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = niet gedefinieerd
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = niet gedefinieerd
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Als een regel lastig voelt, ga dan terug naar het eerste kwadrant, zoek de bijpassende hoek en bepaal de tekens aan de hand van het kwadrant. Die ene gewoonte vervangt de hele lijst.
Train hierna verder