Is 1 een priemgetal? Wat priemgetallen zijn en hoe je ze snel herkent

Wat is een priemgetal?

Is 1 een priemgetal? Nee. Een priemgetal is een natuurlijk getal met precies twee verschillende delers: 1 en het getal zelf. Zo is 7 een priemgetal, want alleen 1 en 7 delen het zonder rest. Het getal 1 heeft maar één deler, dus het voldoet niet aan die regel. Het is ook geen samengesteld getal. Daarmee staat 1 in een groep helemaal op zichzelf.

Is 1 een priemgetal?

Nee, 1 is geen priemgetal. Een priemgetal heeft precies twee verschillende delers nodig, en 1 heeft er maar één. Het is ook geen samengesteld getal, want samengestelde getallen hebben meer dan twee delers. Wiskundigen rekenen 1 daarom tot geen van beide groepen. Het kleinste priemgetal is 2, met de delers 1 en 2.

Voorbeeld

Hier zie je de delers van de getallen 1 tot en met 6.

• 1 heeft één deler (1), dus het is geen priemgetal en ook niet samengesteld.
• 2 heeft twee delers (1 en 2), dus het is een priemgetal.
• 3 heeft twee delers (1 en 3), dus het is een priemgetal.
• 4 heeft drie delers (1, 2 en 4), dus het is samengesteld.
• 5 heeft twee delers (1 en 5), dus het is een priemgetal.
• 6 heeft vier delers (1, 2, 3 en 6), dus het is samengesteld.

Alleen 1 heeft één enkele deler. Elk priemgetal heeft er precies twee, en elk samengesteld getal heeft er drie of meer.

Zie het met stippen

Probeer dit met stippen op papier of met kleine voorwerpen zoals knopen. Zes stippen kun je leggen als een rechthoek van 2 rijen van 3, dus 6 is samengesteld. Zeven stippen vormen altijd maar één rij van 7, hoe je het ook probeert, dus 7 is een priemgetal. Met één stip valt er helemaal niets te leggen. Ook zo zie je dat 1 zich anders gedraagt.

Waarom zoveel mensen denken dat 1 een priemgetal is

Veel van ons hebben geleerd dat een priemgetal een getal is dat "alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf". Volgens die omschrijving lijkt 1 mee te tellen. Het addertje: 1 en "zichzelf" zijn hier hetzelfde getal. Dat geeft één deler, geen twee. Daarom zeggen zorgvuldige definities: precies twee verschillende delers. Of ze zeggen "een natuurlijk getal groter dan 1" dat alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf.

Misschien lees je online ook dat 1 "vroeger een priemgetal was". De echte geschiedenis ligt ingewikkelder. Wiskundigen in het oude Griekenland zagen 1 helemaal niet als getal, en latere wiskundigen waren het er niet over eens. Zoals Scientific American uitlegt in zijn geschiedenis van deze vraag, noemde de Britse wiskundige G. H. Hardy 1 in vroege drukken van zijn leerboek nog een priemgetal, en hij veranderde dat in 1938. Vandaag zijn wiskundigen het erover eens dat 1 geen priemgetal is.

Ook volwassenen die jarenlang wiskunde hebben gehad, twijfelen hier soms. Noemde je kind 1 een priemgetal en werd het antwoord fout gerekend? Dan was die redenering niet dom. De regel die je kind onthouden had, miste gewoon één klein detail.

Is 2 een priemgetal?

Ja. Het getal 2 is het kleinste priemgetal en het enige even priemgetal. Elk ander even getal is deelbaar door 2 en heeft dus minstens drie delers (1, 2 en zichzelf). Na 2 is elk priemgetal dus oneven, al zijn er ook veel oneven getallen samengesteld.

Is 0 een priemgetal?

Nee. Nul is geen priemgetal en ook geen samengesteld getal. Elk natuurlijk getal behalve 0 deelt 0 zonder rest, dus 0 heeft veel meer dan twee delers. De woorden priemgetal en samengesteld getal gebruik je alleen voor natuurlijke getallen groter dan 1. Daardoor vallen 0 en 1 allebei buiten die twee groepen.

Hoe zie je snel of een getal een priemgetal is?

Deel het getal alleen door kleine priemgetallen, te beginnen met 2, 3, 5 en 7. Je kunt stoppen zodra het priemgetal dat je test, keer zichzelf, groter is dan je getal. Deelt geen van die priemgetallen het zonder rest, dan is het getal een priemgetal. Voor elk getal onder de 100 is testen met 2, 3, 5 en 7 genoeg.

Voorbeeld

Is 91 een priemgetal?

1. Het is oneven, dus 2 deelt het niet.
2. De som van de cijfers is 9 + 1 = 10. Dat is geen veelvoud van 3, dus 3 deelt het niet.
3. Het eindigt niet op 0 of 5, dus 5 deelt het niet.
4. Probeer 7. Omdat 7 × 13 = 91, is 91 geen priemgetal.

Is 97 een priemgetal? Het is oneven, de som van de cijfers is 16, en het eindigt niet op 0 of 5. Delen geeft 97 ÷ 7 = 13 rest 6. Het volgende priemgetal is 11, en 11 × 11 = 121 is al groter dan 97. Daar kun je stoppen, dus 97 is een priemgetal.

Waarom je vroeg kunt stoppen

Delers komen in paren. Voor 36 zijn de paren 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 en 6 × 6. In elk paar is één deler 6 of kleiner, want 6 × 6 = 36. Vind je tot dat punt geen deler, dan is er daarna ook geen.

De snelle filters

• Eindigt een getal op 0, 2, 4, 6 of 8, dan is het deelbaar door 2. Alleen 2 zelf is een priemgetal.
• Is de som van de cijfers een veelvoud van 3, dan is het getal deelbaar door 3. Alleen 3 zelf is een priemgetal.
• Eindigt een getal op 0 of 5, dan is het deelbaar door 5. Alleen 5 zelf is een priemgetal.
• Bij 7 deel je gewoon.

Snelheid komt door veel getallen te zien. Zodra de filters vertrouwd voelen, maken een paar rondes priemgetallen herkennen tegen de klok in Math Max er een gewoonte van, want elk goed antwoord is een aanval op de andere vechter. Het draait gratis in de browser, dus je hoeft niets te installeren.

Welke getallen lijken priemgetallen maar zijn het niet?

De klassieke valkuilen zijn 51, 57 en 91. Ze zijn oneven, ze eindigen niet op 5 en ze voelen als priemgetallen. Maar 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 en 91 = 7 × 13. De meeste valkuilgetallen vang je met de som van de cijfers voor 3 of met een snelle deling door 7.

Voorbeeld

• 39 = 3 × 13. De som van de cijfers is 12, een veelvoud van 3.
• 51 = 3 × 17. De som van de cijfers is 6, een veelvoud van 3.
• 57 = 3 × 19. De som van de cijfers is 12, een veelvoud van 3.
• 87 = 3 × 29. De som van de cijfers is 15, een veelvoud van 3.
• 91 = 7 × 13. Delen door 7 ontmaskert het.
• 119 = 7 × 17. Delen door 7 ontmaskert het.
• 133 = 7 × 19. Delen door 7 ontmaskert het.

Zelfs experts trappen erin

Het getal 57 wordt grappend het Grothendieck-priemgetal genoemd. Dat komt door een verhaal dat de beroemde wiskundige Alexander Grothendieck het ooit gebruikte als voorbeeld van een priemgetal.

Toen het wiskundeblog The Aperiodical de resultaten van een online spel "Is this prime?" ("Is dit een priemgetal?") analyseerde, werd 51 nog vaker voor een priemgetal aangezien dan 57. Veel spelers noemden ook 39 een priemgetal. Het priemgetal dat het vaakst ten onrechte samengesteld werd genoemd, was 59. De fouten gaan dus allebei de kanten op.

Twee valse vuistregels veroorzaken de meeste van deze vergissingen. De ene is "oneven getallen zijn priemgetallen", en 9, 15 en 21 bewijzen het tegendeel. De andere is "getallen die eindigen op 1, 3, 7 of 9 zijn priemgetallen". Maar die eindcijfers sluiten alleen 2 en 5 uit als delers.

Priemgetallen tot 100

Twijfel je, controleer dan met de lijst. Er zijn 25 priemgetallen onder de 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 en 97.

De lijst houdt nooit op, want de oud-Griekse wiskundige Euclides heeft bewezen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

Twee verschillende delers is de hele regel

Een priemgetal heeft precies twee verschillende delers nodig, en 1 heeft er maar één, dus 1 is geen priemgetal. Dezelfde regel verklaart waarom 2 wel een priemgetal is en 0 niet. Wil je een getal snel controleren? Test kleine priemgetallen, stop bij de wortel en let op valkuilen zoals 51 en 91.