Hele tall på tallinjen
På en tallinje er de hele tallene punktene med lik avstand som du lander på når du teller forover eller bakover fra 0. Tall som 1/2, 3,5 eller √2 ligger i mellomrommene, så de er ikke hele tall. Her ser du hvordan du kjenner forskjellen, hvorfor null er med, og hvordan fortegnsreglene for hele tall egentlig fungerer.
Hvordan vet du om et tall er et helt tall?
Et tall er et helt tall hvis du kan skrive det uten brøk og uten desimaler. Det kan være positivt, negativt eller null. Den engelskspråklige læreboka OpenStax Prealgebra 2e sier det enkelt, hele tall er tallene vi teller med, de motsatte tallene og null. Så 7, −7 og 0 er hele tall, mens 7,5 ikke er det.
Eksempel
Prøv disse raske sjekkene.
- −12 er et helt tall, fordi det er det motsatte tallet til 12.
- 0 er et helt tall.
- 3,5 er ikke et helt tall, fordi det har desimaler.
- 1/2 er ikke et helt tall.
- 8/2 er et helt tall, fordi 8/2 = 4.
- √9 er et helt tall, fordi √9 = 3.
- √2 er ikke et helt tall, fordi det er omtrent 1,41.
De siste eksemplene viser en nyttig vane. Regn ut verdien først, og bestem deg etterpå. Et tall kan se ut som en brøk eller en rot og likevel vise seg å være et helt tall.
Er 0 et helt tall?
Ja, 0 er et helt tall. Det ligger midt på tallinjen, mellom de negative og de positive hele tallene. Null er verken positivt eller negativt, noe OpenStax også sier rett ut. Men null er et partall, fordi 0 = 2 · 0, så det kan deles på 2 uten rest.
Er negative tall hele tall?
Negative tall er bare hele tall når de ikke har noen brøkdel eller desimaler. −5 og −100 er hele tall. −2,5 og −3/4 er negative, men de er ikke hele tall. Den samme testen fungerer for alle tall, uansett fortegn.
Hva er forskjellen på naturlige tall og hele tall?
I de fleste norske lærebøker er de naturlige tallene 1, 2, 3 og så videre, altså tallene vi teller med. De hele tallene omfatter alle disse, i tillegg til null og de negative tallene −1, −2, −3 og så videre. Så −4 er et helt tall, men ikke et naturlig tall. Noen bøker regner også 0 som et naturlig tall, så sjekk hvilken definisjon skolen til barnet ditt bruker.
Eksempel
Slik passer de viktigste tallmengdene inn i hverandre.
- Naturlige tall (ℕ): 1, 2, 3, 4, …
- Naturlige tall med null: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Hele tall (ℤ): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Rasjonale tall: alle tall som kan skrives som en brøk av hele tall, for eksempel 1/2, −3/4 og 7 (som er 7/1)
Matematikere skriver mengden av hele tall som ℤ. Bokstaven kommer fra det tyske ordet Zahlen, som betyr «tall». Du ser også ℕ for de naturlige tallene. Selv her er det litt uenighet, fordi noen bøker starter dem på 0 og andre på 1.
Hvor ser du hele tall i hverdagen?
Hele tall dukker opp hver gang man teller opp og ned fra et nullpunkt. Temperaturer under frysepunktet, etasjer under bakken, dybder under havoverflaten og målforskjellen til et fotballag er alle hele tall som kan være negative. I hvert tilfelle er 0 et referansepunkt, ikke «ingenting».
Eksempel
Om morgenen er det −4 °C, og til lunsj har temperaturen steget 7 grader. Start på −4 og tell 7 steg opp langs tallinjen, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Ved lunsjtid er det 3 °C, så −4 + 7 = 3.
Tenk deg en heis der inngangsplanet er merket 0, parkeringskjelleren er −2 og det femte planet over inngangen er 5. Å kjøre fra −2 til 5 betyr å kjøre 7 plan, fordi 5 − (−2) = 7.
Hvordan legger man sammen og trekker fra hele tall?
Tenk deg en tallinje når du legger sammen hele tall. Legger du til et positivt tall, går du mot høyre, og legger du til et negativt tall, går du mot venstre. Å trekke fra er det motsatte av å legge til, så når du trekker fra et negativt tall, går du mot høyre. Derfor blir svaret større når du tar bort et negativt tall.
Eksempel
Regn ut −3 + 5. Start på −3 og ta 5 steg mot høyre. Du passerer −2, −1, 0 og 1 og stopper på 2. Så −3 + 5 = 2.
Her er noen flere å prøve.
- −6 + 2 = −4, fordi 2 steg mot høyre fra −6 ender på −4.
- −2 − 5 = −7, fordi 5 steg mot venstre fra −2 ender på −7.
- 4 − (−3) = 7, fordi å trekke fra −3 er det samme som å legge til 3.
Hvorfor blir svaret større når man trekker fra et negativt tall?
Å trekke fra betyr «hvor stor er forskjellen?». Forskjellen mellom 4 og −3 på tallinjen er 7 steg, så 4 − (−3) = 7. OpenStax skriver den generelle regelen som a − (−b) = a + b. Mange barn står fast på −5 + 4, fordi de ser et plusstegn og venter et større tall. Starter du på −5 og går 4 steg mot høyre, ser du at svaret er −1.
Hvorfor blir minus ganger minus pluss?
Når du ganger to hele tall, blir svaret positivt hvis fortegnene er like, og negativt hvis de er forskjellige. Minus ganger minus blir pluss på grunn av et mønster. Hver gang det første tallet blir 1 mindre, endrer svaret seg like mye, og mønsteret fortsetter bare hvis svaret blir positivt.
Eksempel
Se hva som skjer med 3 · (−2) når det første tallet blir 1 mindre hver gang.
- 3 · (−2) = −6
- 2 · (−2) = −4
- 1 · (−2) = −2
- 0 · (−2) = 0
- (−1) · (−2) = 2
- (−2) · (−2) = 4
Hvert svar er 2 mer enn det forrige. For at mønsteret skal fortsette forbi null, må (−1) · (−2) være 2. Du kan også tenke deg at det å gange med −1 snur deg rundt på tallinjen. Snur du deg to ganger, ser du samme vei igjen.
Gjelder samme fortegnsregel for divisjon?
Ja. (−12) : 3 = −4 og (−12) : (−3) = 4, med den samme regelen om like fortegn. Men det er én forskjell. Når du legger sammen, trekker fra eller ganger to hele tall, får du alltid et helt tall, men det gjør du ikke alltid når du deler. 8 : 2 = 4 er et helt tall, mens 7 : 2 = 3,5 ikke er det.
Hvordan blir man raskere med hele tall?
Man blir rask med hele tall ved å gjøre mange små utregninger til tallinjen sitter i hodet. I spillet med negative tall er hvert angrep en rask utregning med negative tall, så barna øver på fortegnsreglene mens de er opptatt med å vinne kampen.
I runden over er det å trekke fra −17 det samme som å legge til 17, så −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Avstanden fra et tall til null kalles absoluttverdien, så absoluttverdien av −5 er 5. Det er det neste temaet de fleste møter etter hele tall, og spillet om absoluttverdi gjør det til en rekke raske runder.
Hele tall er tallene du når ved å telle forover eller bakover
Hvert helt tall er et steg du kan nå ved å telle fra 0, mot høyre for positive tall og mot venstre for negative. Null ligger i midten og hører også med. Hvis et barn kan se for seg tallinjen, slutter reglene for å legge sammen, trekke fra og gange å være regler man må pugge, og begynner å gi mening.
Tren disse videre