Enhetssirkelen er en sirkel med radius 1, tegnet rundt punktet (0, 0). Den ser ut som enda en tabell å lære utenat, men egentlig er den én enkelt idé. Når du ser den ideen, kan du finne alle verdiene på sirkelen på noen sekunder, uten å pugge en lang liste med tall.
Hva er enhetssirkelen?
Enhetssirkelen er en sirkel med radius nøyaktig 1 og sentrum i origo (0, 0). Hver vinkel, målt mot klokka fra den positive x-aksen, havner i ett punkt på sirkelen. Det punktet har alltid koordinatene (cos θ, sin θ). x-koordinaten er altså cosinus til vinkelen, og y-koordinaten er sinus.
Eksempel
Ta en vinkel på 30°. Tegn en linje fra sentrum, 30° over x-aksen, helt til den treffer sirkelen. Punktet der den havner, er (√3/2, 1/2), som er omtrent (0,866; 0,5). Det forteller deg to ting på en gang. Cosinus til 30° er √3/2, og sinus til 30° er 1/2.
Hvert punkt på sirkelen passer også i likningen x² + y² = 1. Sjekk det med punktet for 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Denne likningen er Pytagoras' setning i forkledning, fordi radien er den lange siden i en rettvinklet trekant med sidene x og y.
Hvorfor er cosinus x-koordinaten og sinus y-koordinaten?
Mange elever kan forholdene for sinus, cosinus og tangens, men ser ikke hvor sirkelen kommer inn. Tegn en rettvinklet trekant inne i sirkelen, med radien som den lengste siden (hypotenusen). Den nederste siden ligger langs x-aksen, og den loddrette siden går opp til punktet på sirkelen.
Cosinus er den hosliggende kateten delt på hypotenusen. På enhetssirkelen er hypotenusen 1, så cosinus er rett og slett lengden av den nederste siden, altså x-koordinaten. På samme måte er sinus den motstående kateten delt på 1, altså høyden, eller y-koordinaten. Sirkelen fjerner bare delingen.
Hvorfor bruker enhetssirkelen radianer?
Enhetssirkelen bruker radianer fordi vinkelen i radianer, når radien er 1, er nøyaktig lengden av buen du går langs sirkelen. En hel runde er 360°, og hele omkretsen av sirkelen er 2π. Derfor er 360° lik 2π radianer, og 180° er lik π radianer.
Eksempel
For å gjøre om grader til radianer ganger du med π og deler på 180. For 60° gir det 60 · π / 180 = π/3. For å gå tilbake ganger du med 180 og deler på π. Så π/4 radianer er 180 / 4 = 45°.
Vinkler som π/8 forvirrer ofte elever, fordi de ikke står i den vanlige tabellen. Trikset er å tenke i brøkdeler av en halv runde. π er en halv runde, π/4 er en firedel av den halve runden (45°), og π/8 er halvparten av π/4, altså 22,5°. Du plasserer den midt mellom 0 og punktet for 45°.
Radianer blir også viktige senere. I matematisk analyse fungerer reglene for sinus og cosinus bare så ryddig når vinklene er i radianer. Derfor går lærerne over til radianer så snart enhetssirkelen dukker opp.
Hvordan husker du enhetssirkelen uten å pugge den?
Du trenger bare verdiene for 0°, 30°, 45°, 60° og 90°. Alt annet på sirkelen er speilbilder av disse fem. Nedenfor finner du tre måter å bygge dem opp igjen på, og ingen av dem avhenger av en huskeregel på ett bestemt språk. Velg den som føles mest naturlig.
Bygg den opp fra to trekanter
Klipp et kvadrat langs diagonalen, så får du en rettvinklet trekant med to vinkler på 45°, og de to korte sidene er like lange. La den lange siden være 1, som radien. Da må de to korte sidene passe i x² + y² = 1, og med x = y betyr det at hver av dem er √2/2. Punktet for 45° er altså (√2/2, √2/2).
Tegn nå en likesidet trekant med sider på 2 og del den i to. Du får en trekant med vinklene 30°, 60° og 90°, og sidene 1, √3 og 2. Del hver side på 2, slik at den lange siden blir 1. Sidene er nå 1/2, √3/2 og 1, og det gir deg punktene for 30° og 60°.
Bruk kvadratrotmønsteret
Skriv tallene 0, 1, 2, 3, 4 under vinklene 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Ta kvadratroten av hvert tall og del på 2. Den raden gir deg sinus til hver vinkel. Les den samme raden baklengs for å få cosinus.
- Sinus for 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosinus for de samme vinklene: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Tell det på hånden
Hold opp venstre hånd med håndflaten mot deg. Tommelen står for 90°, pekefingeren for 60°, langfingeren for 45°, ringfingeren for 30° og lillefingeren for 0°. For å finne verdiene for en vinkel bøyer du ned fingeren til den vinkelen.
Tell fingrene på lillefingersiden av den bøyde fingeren, ta kvadratroten av det tallet og del på 2. Det gir sinus. Fingrene på tommelsiden gir cosinus på samme måte.
For 30° bøyer du ringfingeren. Én finger (lillefingeren) står på lillefingersiden, så sinus er √1/2 = 1/2. Tre fingre står på tommelsiden, så cosinus er √3/2.
Hver metode gir de samme fem punktene. Noen runder i trigonometrispillet viser raskt om du husker verdiene for sinus og cosinus under litt tidspress. Kort og hyppig øving som dette får verdiene til å sitte mye bedre enn én lang økt.
Må du pugge hele enhetssirkelen?
Nei. Du trenger første kvadrant (0° til 90°) og en sikker måte å speile den på. Elever som pugger hele tabellen til en prøve, glemmer den ofte noen uker senere. Elever som forstår trekantene og speilingene, kan bygge den opp igjen når som helst, og det er det senere emner som matematisk analyse faktisk krever.
Hvordan endres fortegnene i hver kvadrant?
Sirkelen har fire kvadranter. I hver av dem har koordinatene samme størrelse som for en vinkel i første kvadrant, og bare fortegnene endres. I første kvadrant er både x og y positive. I andre er x negativ. I tredje er begge negative. I fjerde er y negativ.
Eksempel
Finn punktet for 150°. Det ligger i andre kvadrant, 30° før 180°. Det er altså speilbildet av punktet for 30° om y-aksen. Punktet for 30° er (√3/2, 1/2). Speilingen gjør x-koordinaten negativ, så punktet for 150° er (−√3/2, 1/2).
- Første kvadrant (0° til 90°): x er positiv, y er positiv
- Andre kvadrant (90° til 180°): x er negativ, y er positiv
- Tredje kvadrant (180° til 270°): x er negativ, y er negativ
- Fjerde kvadrant (270° til 360°): x er positiv, y er negativ
En rask kontroll er å se for seg punktet i et vanlig koordinatsystem. Til venstre for y-aksen betyr at x er negativ, og under x-aksen betyr at y er negativ. Du trenger ikke pugge denne listen hvis du kan se for deg hvor punktet ligger.
Hva er tangens på enhetssirkelen?
Tangens til en vinkel er y-koordinaten delt på x-koordinaten, så tan θ = sin θ / cos θ. For 60° er det (√3/2) : (1/2) = √3, omtrent 1,732. Ved 90° og 270° er x-koordinaten 0, og du kan ikke dele på 0, så tangens er ikke definert for de vinklene.
Hva brukes enhetssirkelen til?
Enhetssirkelen er grunnen til at sinus og cosinus fungerer for alle vinkler, ikke bare vinklene inne i en rettvinklet trekant. Det gjør den til grunnlaget for alt som gjentar seg eller roterer. Lydbølger, lysbølger, vekselstrøm, bevegelsen til en pendel og viserne på en klokke beskrives alle med sinus og cosinus.
Eksempel
Se for deg et punkt som beveger seg rundt sirkelen med jevn fart. Høyden går opp til 1, ned til −1 og tilbake igjen, i en jevn bølge. Tegn den høyden mot tiden, så får du grafen til sinusfunksjonen. Ingeniører bruker akkurat denne ideen til å beskrive svingninger, og utviklere av spill og animasjon bruker den til å rotere objekter på skjermen.
Én kvadrant og to trekanter gir deg hele sirkelen
Her er de viktigste vinklene med koordinatene sine. Bruk listen som oppslag, men prøv å bygge opp hver rad med trekantene eller håndtrikset før du ser.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = ikke definert
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = ikke definert
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Hvis en rad føles vanskelig, gå tilbake til første kvadrant, finn den tilsvarende vinkelen, og bestem fortegnene ut fra kvadranten. Den ene vanen erstatter hele listen.
Tren disse videre