Er 1 et primtall? Hva primtall er, og hvordan du raskt kjenner dem igjen

Hva er et primtall?

Er 1 et primtall? Nei. Et primtall er et helt tall med nøyaktig to forskjellige faktorer: 1 og tallet selv. For eksempel er 7 et primtall, fordi bare 1 og 7 går opp i det. Tallet 1 har bare én faktor, så det oppfyller ikke regelen. Det er heller ikke et sammensatt tall. Derfor står 1 i en gruppe helt for seg selv.

Er 1 et primtall?

Nei, 1 er ikke et primtall. Et primtall må ha nøyaktig to forskjellige faktorer, og 1 har bare én. Det er heller ikke sammensatt, for sammensatte tall har flere enn to faktorer. Derfor regner matematikere 1 som verken primtall eller sammensatt tall. Det minste primtallet er 2, med faktorene 1 og 2.

Eksempel

Her er faktorene til tallene 1 til 6.

• 1 har én faktor (1), så det er verken primtall eller sammensatt.
• 2 har to faktorer (1 og 2), så det er et primtall.
• 3 har to faktorer (1 og 3), så det er et primtall.
• 4 har tre faktorer (1, 2 og 4), så det er sammensatt.
• 5 har to faktorer (1 og 5), så det er et primtall.
• 6 har fire faktorer (1, 2, 3 og 6), så det er sammensatt.

Bare 1 har én enkelt faktor. Hvert primtall har nøyaktig to, og hvert sammensatt tall har tre eller flere.

Se det med prikker

Prøv dette med prikker på papir eller med små ting som knapper. Seks prikker kan du legge som et rektangel med 2 rader på 3, så 6 er sammensatt. Sju prikker kan bare bli én rad med 7, uansett hvordan du prøver, så 7 er et primtall. Med én prikk er det ingenting å ordne i det hele tatt. Det viser på en annen måte at 1 oppfører seg annerledes.

Hvorfor så mange tror at 1 er et primtall

Mange av oss lærte at et primtall er et tall som "bare er delelig med 1 og seg selv". Etter den formuleringen ser 1 ut til å passe. Haken er at 1 og "seg selv" her er det samme tallet. Det gir én faktor, ikke to. Derfor sier nøye definisjoner nøyaktig to forskjellige faktorer. Eller de sier "et helt tall større enn 1" som bare er delelig med 1 og seg selv.

Du kan også lese på nettet at 1 "pleide å være et primtall". Den virkelige historien er mer sammensatt. Matematikerne i antikkens Hellas regnet ikke 1 som et tall i det hele tatt, og senere matematikere var uenige om det. Som Scientific American forklarer i sin gjennomgang av spørsmålets historie, regnet den britiske matematikeren G. H. Hardy fortsatt 1 som primtall i tidlige utgaver av læreboka si og endret det i 1938. I dag er matematikere enige om at 1 ikke er et primtall.

Voksne som har hatt matematikk i mange år, nøler også noen ganger her. Hvis barnet ditt kalte 1 et primtall og fikk svaret markert som feil, var tankegangen ikke dum. Regelen barnet husket, manglet bare én liten detalj.

Er 2 et primtall?

Ja. Tallet 2 er det minste primtallet og det eneste partallet blant primtallene. Alle andre partall kan deles på 2, og da har de minst tre faktorer (1, 2 og tallet selv). Etter 2 er altså alle primtall oddetall, selv om mange oddetall er sammensatte.

Er 0 et primtall?

Nei. Null er verken et primtall eller et sammensatt tall. Alle hele tall unntatt 0 går opp i 0, så 0 har langt flere enn to faktorer. Primtall og sammensatt tall brukes bare om hele tall større enn 1. Derfor havner både 0 og 1 utenfor de to gruppene.

Hvordan ser du raskt om et tall er et primtall?

Del tallet bare på små primtall, og begynn med 2, 3, 5 og 7. Du kan stoppe så snart primtallet du tester, ganget med seg selv, er større enn tallet ditt. Hvis ingen av de primtallene går opp, er tallet et primtall. For alle tall under 100 holder det å teste 2, 3, 5 og 7.

Eksempel

Er 91 et primtall?

1. Det er et oddetall, så 2 går ikke opp i det.
2. Tverrsummen er 9 + 1 = 10. Det er ikke et multiplum av 3, så 3 går ikke opp i det.
3. Det slutter ikke på 0 eller 5, så 5 går ikke opp i det.
4. Prøv 7. Siden 7 × 13 = 91, er 91 ikke et primtall.

Er 97 et primtall? Det er et oddetall, tverrsummen er 16, og det slutter ikke på 0 eller 5. Divisjon gir 97 ÷ 7 = 13 med rest 6. Neste primtall er 11, og 11 × 11 = 121 er allerede større enn 97. Der kan du stoppe, så 97 er et primtall.

Hvorfor du kan stoppe tidlig

Faktorer kommer i par. For 36 er parene 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 og 6 × 6. I hvert par er den ene faktoren 6 eller mindre, fordi 6 × 6 = 36. Så hvis du ikke finner noen faktor fram til det punktet, finnes det ingen etter det heller.

De raske filtrene

• Hvis et tall slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8, er det delelig med 2. Bare 2 selv er et primtall.
• Hvis tverrsummen er et multiplum av 3, er tallet delelig med 3. Bare 3 selv er et primtall.
• Hvis et tall slutter på 0 eller 5, er det delelig med 5. Bare 5 selv er et primtall.
• Med 7 deler du bare.

Fart kommer av å se mange tall. Når filtrene føles kjente, gjør noen runder med å finne primtall mot klokka i Math Max dem til en vane, fordi hvert riktige svar er et angrep på den andre fighteren. Det kjører gratis i nettleseren, så du trenger ikke installere noe.

Hvilke tall ser ut som primtall, men er det ikke?

De klassiske felletallene er 51, 57 og 91. De er oddetall, de slutter ikke på 5, og de føles som primtall. Men 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 og 91 = 7 × 13. De fleste felletall blir avslørt av tverrsumregelen for 3 eller av en rask divisjon med 7.

Eksempel

• 39 = 3 × 13. Tverrsummen er 12, et multiplum av 3.
• 51 = 3 × 17. Tverrsummen er 6, et multiplum av 3.
• 57 = 3 × 19. Tverrsummen er 12, et multiplum av 3.
• 87 = 3 × 29. Tverrsummen er 15, et multiplum av 3.
• 91 = 7 × 13. Divisjon med 7 avslører det.
• 119 = 7 × 17. Divisjon med 7 avslører det.
• 133 = 7 × 19. Divisjon med 7 avslører det.

Selv eksperter går i fella

Tallet 57 kalles på spøk Grothendieck-primtallet. Navnet kommer fra en historie om at den berømte matematikeren Alexander Grothendieck en gang brukte det som eksempel på et primtall.

Da matematikkbloggen The Aperiodical analyserte resultatene fra et nettspill kalt "Is this prime?" ("Er dette et primtall?"), ble 51 tatt for et primtall enda oftere enn 57. Mange spillere kalte også 39 et primtall. Primtallet som oftest feilaktig ble kalt sammensatt, var 59. Feilene går altså begge veier.

To falske tommelfingerregler står bak de fleste av disse tabbene. Den ene er "oddetall er primtall", og det motbeviser 9, 15 og 21. Den andre er "tall som slutter på 1, 3, 7 eller 9, er primtall". Men de sluttsifrene utelukker bare 2 og 5 som faktorer.

Primtall opp til 100

Er du i tvil, så sjekk mot lista. Det finnes 25 primtall under 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 og 97.

Lista tar aldri slutt, fordi den greske oldtidsmatematikeren Euklid beviste at det finnes uendelig mange primtall.

To forskjellige faktorer er hele regelen

Et primtall må ha nøyaktig to forskjellige faktorer, og 1 har bare én, så 1 er ikke et primtall. Den samme regelen forklarer hvorfor 2 er et primtall, og hvorfor 0 ikke er det. Vil du sjekke et tall raskt, så test små primtall, stopp ved kvadratroten og se opp for feller som 51 og 91.