Urutan operasi hitung: PEMDAS, BODMAS, dan aturan di baliknya

Bagaimana cara memakai urutan operasi hitung langkah demi langkah?

Dengan urutan operasi hitung (dalam bahasa Inggris disebut PEMDAS), sebuah soal dikerjakan dalam empat putaran. Kerjakan dulu yang ada di dalam kurung, lalu pangkat, kemudian perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan, dan terakhir penjumlahan dan pengurangan dari kiri ke kanan. Tulis ulang seluruh baris setiap selesai satu putaran, supaya kesalahan mudah ditemukan nanti.

Contoh

Hitung 3 + 4 × (6 − 2)² : 8.

1. Kurung: 6 − 2 = 4, sehingga tersisa 3 + 4 × 4² : 8
2. Pangkat: 4² = 16, sehingga tersisa 3 + 4 × 16 : 8
3. Perkalian dan pembagian, dari kiri ke kanan: 4 × 16 = 64, lalu 64 : 8 = 8, sehingga tersisa 3 + 8
4. Penjumlahan dan pengurangan: 3 + 8 = 11

Menyalin ulang baris memang terasa lambat. Tapi cara ini tetap pelindung terbaik dari kesalahan. Kesalahan yang sering terjadi adalah menjumlahkan 3 dan 4 di awal. Hasilnya 7, dan jawaban akhirnya jadi salah.

Apakah perkalian didahulukan sebelum pembagian dalam PEMDAS?

Tidak. Perkalian dan pembagian berada di tingkat yang sama, begitu juga penjumlahan dan pengurangan. Di dalam setiap pasangan, cukup kerjakan dari kiri ke kanan. PEMDAS menulis M sebelum D hanya karena sebuah kata harus menyusun hurufnya dalam urutan tertentu. Menganggap huruf-huruf itu sebagai peringkat yang kaku adalah salah satu kesalahan paling umum dalam urutan operasi hitung.

Contoh

Hitung 24 : 4 × 2.

1. Dari kiri, pembagian muncul lebih dulu: 24 : 4 = 6
2. Lalu perkalian: 6 × 2 = 12

Kalau perkalian dikerjakan dulu, hasilnya 24 : 8 = 3, dan itu salah. Penjumlahan dan pengurangan juga begitu. Pada 10 − 4 + 3, dari kiri ke kanan hasilnya 6 + 3 = 9. Kalau dijumlahkan dulu, hasilnya 10 − 7 = 3, juga salah.

Buku pelajaran gratis OpenStax Prealgebra 2e menjelaskannya dengan gamblang. Perkalian dan pembagian dikerjakan berurutan dari kiri ke kanan, karena keduanya punya prioritas yang sama. Banyak orang dewasa sudah lupa detail ini dari masa sekolah, dan inilah yang memicu banyak perdebatan soal teka-teki matematika di internet.

Apa bedanya PEMDAS, BODMAS, dan BIDMAS?

Aturannya tidak berbeda, hanya kata-katanya. PEMDAS diawali P untuk parentheses (kurung), sedangkan BODMAS dan BIDMAS diawali B untuk brackets (juga kurung). E (exponents), O (orders), dan I (indices) semuanya berarti pangkat dan akar. Setiap versi menempatkan perkalian dan pembagian di satu tingkat, lalu penjumlahan dan pengurangan di tingkat berikutnya.

Contoh

Hitung 2 + 3 × 4² sambil memikirkan setiap versi.

1. Pangkat dulu: 4² = 16
2. Lalu perkalian: 3 × 16 = 48
3. Lalu penjumlahan: 2 + 48 = 50

BODMAS kebetulan menulis D sebelum M, sedangkan PEMDAS menulis M sebelum D. Keduanya menghasilkan 50 di sini, dan kedua versi selalu memberi jawaban yang sama untuk perhitungan apa pun. Kalau urutan hurufnya terus membingungkan, coba tulis aturannya sebagai empat tingkat, bukan enam huruf: kurung, pangkat, kali atau bagi, tambah atau kurang.

Mengapa kita perlu urutan operasi hitung?

Tanpa urutan yang disepakati, baris seperti 2 + 3 × 4 bisa punya dua arti. Kalau dijumlahkan dulu, hasilnya 20. Kalau dikalikan dulu, hasilnya 14. Kesepakatannya, perkalian didahulukan, jadi jawabannya 14. Tujuan aturan ini sederhana saja: semua orang yang membaca perhitungan yang sama mendapat hasil yang sama.

Contoh

Seorang teman membeli 3 buku tulis seharga 4 koin per buku dan satu pulpen seharga 2 koin. Totalnya 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 koin. Kalau dijumlahkan dulu, hasilnya 5 × 4 = 20, seolah-olah pulpennya dibeli empat kali.

Kesepakatan ini jauh lebih tua daripada singkatan-singkatan tadi. Menurut MacTutor, arsip sejarah matematika di University of St Andrews, perkalian sebelum penjumlahan dan pengurangan sudah menjadi aturan di buku-buku aljabar simbolik paling awal pada abad ke-16. Halaman yang sama mengutip seorang sejarawan yang menulis pada akhir 1920-an bahwa saat itu masih belum ada kesepakatan apakah ÷ atau × yang harus didahulukan.

Berapa hasil 8 ÷ 2(2 + 2)?

Kalau mengikuti urutan operasi hitung seperti yang diajarkan di sekolah, 8 ÷ 2(2 + 2) hasilnya 16. Di sekolah tanda bagi biasanya ditulis :, jadi soal ini sama dengan 8 : 2(2 + 2). Kurung dikerjakan dulu dan hasilnya 4. Angka 2 yang ditulis menempel pada kurung berarti perkalian, dan pembagian serta perkalian dikerjakan dari kiri ke kanan, jadi 8 : 2 × 4 = 4 × 4 = 16.

Contoh

Berikut dua cara membacanya, berdampingan.

1. Dari kiri ke kanan: 8 : 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Dengan 2(2 + 2) sebagai satu kesatuan: 8 : (2 × 4) = 8 : 8 = 1

Masalah sebenarnya ada pada cara penulisannya. Sebuah catatan di situs jurusan matematika Berkeley menjelaskan bahwa tidak ada konvensi baku untuk bentuk seperti ini, karena angka yang ditulis menempel pada kurung memberi kesan keduanya satu kesatuan. Para matematikawan menghindari seluruh perdebatan ini dengan kurung tambahan: (8 : 2)(2 + 2) atau 8 : (2(2 + 2)).

Garis pecahan juga mengelompokkan dengan cara yang sama. Kalau 6 + 4 ditulis di atas garis pecahan dan 2 di bawahnya, jumlahkan dulu, jadi jawabannya 10 : 2 = 5.

Apa saja kesalahan paling umum dalam urutan operasi hitung?

Sebagian besar kesalahan muncul karena singkatannya dibaca sebagai enam langkah terpisah dengan urutan tetap. Akibatnya orang mengalikan sebelum membagi, atau menjumlahkan sebelum mengurangi. Kesalahan lain adalah lupa bahwa garis pecahan mengelompokkan bagian atas dan bawahnya, serta mengkuadratkan bilangan negatif tanpa kurungnya. Menulis ulang baris setiap selesai satu langkah bisa menangkap sebagian besar kesalahan itu.

Kesalahan yang terus terulang

• Mengalikan sebelum membagi. Pada 24 : 4 × 2, kerjakan dari kiri ke kanan: 6 × 2 = 12.
• Menjumlahkan sebelum mengurangi. Pada 10 − 4 + 3, kerjakan dari kiri ke kanan: 6 + 3 = 9.
• Mengkuadratkan bilangan negatif. −3² berarti −(3²) = −9, tetapi (−3)² = 9. Kurunglah yang menentukan apakah tanda minus ikut dikuadratkan.
• Mulai dari kurung luar. Pada 2 × [5 + (3 − 1)²], mulailah dari dalam: 3 − 1 = 2, lalu 2² = 4, lalu 5 + 4 = 9, dan terakhir 2 × 9 = 18.
• Mengabaikan garis pecahan. Hitung dulu pembilang dan penyebutnya masing-masing, baru bagi.

Bagaimana cara berlatih urutan operasi hitung?

Perhitungan pendek yang sering dilakukan adalah cara terbaik untuk melatih aturan ini. Di game urutan operasi hitung, setiap serangan berupa soal campuran seperti (5 + 3) × 7. Kamu hitung isi kurungnya, kalikan, lalu ketik 56 untuk melancarkan serangan.

Pangkat membuat banyak orang melambat, terutama dengan bilangan negatif. Kalau kamu sering tersendat di situ, coba dulu game pangkat. Setelah itu, perhitungan panjang yang memuat pangkat jadi lebih mudah dikerjakan.

Nama aturan ini tergantung di mana kamu mempelajarinya. Di Amerika Serikat namanya PEMDAS, dan di Inggris BODMAS atau BIDMAS. Bahasa lain punya ungkapan singkatnya sendiri, tetapi aturan di baliknya sama di mana pun. Di Indonesia, guru biasanya mengajarkannya sebagai urutan operasi hitung campuran: kurung dulu, lalu pangkat, kali dan bagi, baru tambah dan kurang.

Satu aturan bersama membuat semua orang mendapat jawaban yang sama

Urutan operasi hitung adalah kesepakatan, bukan hukum alam, dan aturan ini hanya berhasil karena semua orang memakai kesepakatan yang sama. Kurung dulu, lalu pangkat, kemudian perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan, lalu penjumlahan dan pengurangan dari kiri ke kanan. Kalau sebuah perhitungan masih bisa dibaca dua cara, tambahkan kurung dan perdebatan pun selesai.