Les entiers relatifs sur la droite graduée
Sur une droite graduée, les entiers relatifs sont les points régulièrement espacés sur lesquels on tombe en comptant à partir de 0, vers l'avant ou vers l'arrière. Des nombres comme 1/2, 3,5 ou √2 se trouvent dans les espaces entre eux, ce ne sont donc pas des entiers relatifs. Voici comment faire la différence, pourquoi zéro en fait partie et comment fonctionnent vraiment les règles des signes.
Comment savoir si un nombre est un entier relatif ?
Un nombre est un entier relatif si on peut l'écrire sans fraction ni partie décimale. Il peut être positif, négatif ou nul. Le manuel américain OpenStax Prealgebra 2e le dit simplement, les entiers relatifs sont les nombres qui servent à compter, leurs opposés et zéro. Ainsi 7, −7 et 0 sont des entiers relatifs, mais pas 7,5.
Exemple
Quelques vérifications rapides.
- −12 est un entier relatif, car c'est l'opposé de 12.
- 0 est un entier relatif.
- 3,5 n'est pas un entier relatif, car il a une partie décimale.
- 1/2 n'est pas un entier relatif.
- 8/2 est un entier relatif, car 8/2 = 4.
- √9 est un entier relatif, car √9 = 3.
- √2 n'est pas un entier relatif, car il vaut environ 1,41.
Les derniers exemples montrent une bonne habitude. On calcule d'abord la valeur, puis on décide. Un nombre peut ressembler à une fraction ou à une racine et se révéler être un entier.
Zéro est-il un entier relatif ?
Oui, 0 est un entier relatif. Il se trouve au milieu de la droite graduée, entre les entiers strictement négatifs et les entiers strictement positifs. Dans les manuels anglophones comme OpenStax, zéro n'est ni positif ni négatif, mais en France la convention est différente. Zéro y est à la fois positif et négatif. « Positif » veut dire supérieur ou égal à 0 (≥ 0), et « strictement positif » veut dire supérieur à 0 (> 0). Zéro est aussi pair, car 0 = 2 × 0, donc il se divise par 2 sans reste.
Les nombres négatifs sont-ils des entiers relatifs ?
Un nombre négatif est un entier relatif seulement s'il n'a ni fraction ni partie décimale. −5 et −100 sont des entiers relatifs. −2,5 et −3/4 sont négatifs, mais ce ne sont pas des entiers relatifs. Le même test fonctionne pour tous les nombres, quel que soit leur signe.
Quelle différence entre entiers naturels et entiers relatifs ?
Les entiers naturels sont 0, 1, 2, 3 et ainsi de suite, sans nombres négatifs. Les entiers relatifs comprennent tous ces nombres, plus les négatifs −1, −2, −3 et ainsi de suite. Ainsi −4 est un entier relatif, mais pas un entier naturel. En France, 0 fait bien partie des entiers naturels, mais certains livres étrangers, surtout anglophones, font commencer les nombres naturels à 1.
Exemple
Voici comment les principaux ensembles s'emboîtent.
- Entiers naturels non nuls, ceux qui servent à compter : 1, 2, 3, 4, …
- Entiers naturels (ℕ) : 0, 1, 2, 3, 4, …
- Entiers relatifs (ℤ) : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Nombres rationnels : tous les nombres qui s'écrivent comme une fraction d'entiers relatifs, comme 1/2, −3/4 et 7 (qui vaut 7/1)
Les mathématiciens notent l'ensemble des entiers relatifs ℤ. La lettre vient du mot allemand Zahlen, qui veut dire « nombres ». L'ensemble des entiers naturels se note ℕ. Même là, il existe un petit désaccord, car selon les pays et les livres, ℕ commence à 0 ou à 1.
Où voit-on des entiers relatifs dans la vie courante ?
Les entiers relatifs apparaissent dès qu'on compte vers le haut et vers le bas à partir d'un point zéro. Les températures sous zéro, les étages en sous-sol, les profondeurs sous le niveau de la mer et la différence de buts d'une équipe de foot sont des entiers qui peuvent être négatifs. Dans chaque cas, 0 est un point de référence, pas « rien ».
Exemple
Le matin, il fait −4 °C et la température monte de 7 degrés jusqu'à midi. On part de −4 et on avance de 7 pas sur la droite graduée, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. À midi, il fait 3 °C, donc −4 + 7 = 3.
Dans un ascenseur, le rez-de-chaussée est souvent le niveau 0, le parking peut être au niveau −2 et le cinquième étage est le niveau 5. Passer de −2 à 5 revient à monter de 7 niveaux, car 5 − (−2) = 7.
Comment additionner et soustraire des entiers relatifs ?
Pour additionner des entiers relatifs, imaginez une droite graduée. Ajouter un nombre positif fait avancer vers la droite, et ajouter un nombre négatif fait reculer vers la gauche. Soustraire est le contraire d'ajouter, donc soustraire un nombre négatif fait avancer vers la droite. C'est pour cela qu'enlever un nombre négatif donne un résultat plus grand.
Exemple
Calculons −3 + 5. On part de −3 et on fait 5 pas vers la droite. On passe par −2, −1, 0 et 1, et on s'arrête à 2. Donc −3 + 5 = 2.
Quelques autres à essayer.
- −6 + 2 = −4, car 2 pas vers la droite à partir de −6 mènent à −4.
- −2 − 5 = −7, car 5 pas vers la gauche à partir de −2 mènent à −7.
- 4 − (−3) = 7, car soustraire −3 revient à ajouter 3.
Pourquoi soustraire un nombre négatif donne-t-il un résultat plus grand ?
Soustraire, c'est chercher l'écart entre deux nombres. Sur la droite graduée, l'écart entre 4 et −3 est de 7 pas, donc 4 − (−3) = 7. OpenStax écrit la règle générale a − (−b) = a + b. Beaucoup d'enfants bloquent sur −5 + 4, parce qu'ils voient un signe plus et s'attendent à un nombre plus grand. En partant de −5 et en avançant de 4 vers la droite, on voit que le résultat est −1.
Pourquoi moins par moins donne plus ?
Quand on multiplie deux entiers relatifs non nuls, le résultat est positif si les signes sont les mêmes et négatif s'ils sont différents. Moins par moins donne plus à cause d'une régularité. Chaque fois que le premier nombre diminue de 1, le résultat change de la même quantité, et cette régularité ne continue que si le résultat devient positif.
Exemple
Observez ce qui arrive à 3 × (−2) quand le premier nombre diminue de 1 à chaque fois.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Chaque résultat vaut 2 de plus que le précédent. Pour que la régularité continue après zéro, (−1) × (−2) doit valoir 2. On peut aussi imaginer que multiplier par −1 fait faire demi-tour sur la droite graduée. Après deux demi-tours, on regarde de nouveau dans la même direction.
La division suit-elle la même règle des signes ?
Oui. (−12) ÷ 3 = −4 et (−12) ÷ (−3) = 4, avec la même règle des signes. Il y a quand même une différence. Additionner, soustraire ou multiplier deux entiers relatifs donne toujours un entier relatif, mais ce n'est pas toujours le cas quand on divise. 8 ÷ 2 = 4 est un entier, alors que 7 ÷ 2 = 3,5 n'en est pas un.
Comment devenir plus rapide avec les entiers relatifs ?
On gagne en rapidité en faisant beaucoup de petits calculs, jusqu'à avoir la droite graduée en tête. Dans le jeu des nombres négatifs, chaque attaque est un calcul rapide avec des nombres négatifs, si bien que les enfants s'entraînent aux règles des signes tout en essayant de gagner le combat.
Dans la manche ci-dessus, soustraire −17 revient à ajouter 17, donc −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
L'écart entre un nombre et zéro s'appelle sa distance à zéro au collège, puis sa valeur absolue au lycée. La distance à zéro de −5 est donc 5. C'est la notion que la plupart des élèves découvrent juste après les entiers relatifs, et le jeu de la valeur absolue la transforme en une série de manches rapides.
Les entiers relatifs sont les nombres qu'on atteint en comptant, vers l'avant ou vers l'arrière
Chaque entier relatif est un pas qu'on peut atteindre en comptant à partir de 0, vers la droite pour les nombres positifs et vers la gauche pour les négatifs. Zéro est au milieu et fait aussi partie du groupe. Si un enfant arrive à se représenter cette droite graduée, les règles pour additionner, soustraire et multiplier ne sont plus des règles à apprendre par cœur, elles prennent tout leur sens.
À entraîner ensuite