1 est-il un nombre premier ? Ce que sont les nombres premiers et comment les repérer vite

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

1 est-il un nombre premier ? Non. Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs différents : 1 et le nombre lui-même. Par exemple, 7 est premier, car seuls 1 et 7 le divisent sans reste. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur, donc il ne respecte pas cette règle. Il n'est pas composé non plus, ce qui place 1 dans une catégorie à part.

1 est-il un nombre premier ?

Non, 1 n'est pas un nombre premier. Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs différents, et 1 n'en a qu'un seul. Il n'est pas composé non plus, car les nombres composés ont plus de deux diviseurs. Les mathématiciens considèrent donc que 1 n'est ni premier ni composé. Le plus petit nombre premier est 2, avec les diviseurs 1 et 2.

Exemple

Voici les diviseurs des nombres de 1 à 6.

• 1 a un seul diviseur (1), donc il n'est ni premier ni composé.
• 2 a deux diviseurs (1 et 2), donc il est premier.
• 3 a deux diviseurs (1 et 3), donc il est premier.
• 4 a trois diviseurs (1, 2 et 4), donc il est composé.
• 5 a deux diviseurs (1 et 5), donc il est premier.
• 6 a quatre diviseurs (1, 2, 3 et 6), donc il est composé.

Seul 1 a un unique diviseur. Chaque nombre premier en a exactement deux, et chaque nombre composé en a trois ou plus.

Le voir avec des points

Essaie avec des points sur une feuille ou avec de petits objets comme des boutons. Six points peuvent former un rectangle de 2 rangées de 3, donc 6 est composé. Sept points ne peuvent former qu'une seule rangée de 7, quoi que tu essaies, donc 7 est premier. Avec un seul point, il n'y a rien à disposer, ce qui montre d'une autre façon que 1 se comporte différemment.

Pourquoi tant de gens pensent que 1 est premier

Beaucoup d'entre nous ont appris qu'un nombre premier est un nombre « divisible uniquement par 1 et par lui-même ». D'après cette formulation, 1 semble convenir. Le piège, c'est qu'ici 1 et « lui-même » sont le même nombre, ce qui donne un seul diviseur, et non deux. C'est pourquoi les définitions rigoureuses parlent d'exactement deux diviseurs différents, ou d'« un nombre entier supérieur à 1 » divisible uniquement par 1 et par lui-même.

Tu liras peut-être aussi sur Internet que 1 « était premier autrefois ». La véritable histoire est plus nuancée. Les mathématiciens de la Grèce antique ne considéraient même pas 1 comme un nombre, et les mathématiciens des siècles suivants n'étaient pas d'accord entre eux. Comme Scientific American l'explique dans son historique de la question, le mathématicien britannique G. H. Hardy classait encore 1 parmi les nombres premiers dans les premières éditions de son manuel, et il a corrigé cela en 1938. Aujourd'hui, les mathématiciens s'accordent à dire que 1 n'est pas premier.

Des adultes qui ont étudié les maths pendant des années hésitent parfois aussi sur ce point. Si ton enfant a dit que 1 était premier et que sa réponse a été comptée fausse, son raisonnement n'était pas bête. Il manquait simplement un petit détail à la règle dont il se souvenait.

2 est-il un nombre premier ?

Oui. Le nombre 2 est le plus petit nombre premier et le seul qui soit pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, ce qui leur donne au moins trois diviseurs (1, 2 et le nombre lui-même). Donc après 2, tous les nombres premiers sont impairs, même si beaucoup de nombres impairs sont composés.

0 est-il un nombre premier ?

Non. Zéro n'est ni premier ni composé. Tout nombre entier sauf 0 divise 0 sans reste, donc 0 a bien plus de deux diviseurs. Les mots premier et composé ne s'emploient que pour les nombres entiers supérieurs à 1, ce qui laisse 0 et 1 en dehors de ces deux groupes.

Comment savoir rapidement si un nombre est premier ?

Divise le nombre uniquement par de petits nombres premiers, en commençant par 2, 3, 5 et 7. Tu peux t'arrêter dès que le nombre premier que tu testes, multiplié par lui-même, dépasse ton nombre. Si aucun de ces nombres premiers ne le divise sans reste, le nombre est premier. Pour tout nombre inférieur à 100, tester 2, 3, 5 et 7 suffit.

Exemple

91 est-il premier ?

1. Il est impair, donc 2 ne le divise pas.
2. La somme de ses chiffres est 9 + 1 = 10. Ce n'est pas un multiple de 3, donc 3 ne le divise pas.
3. Il ne se termine pas par 0 ou 5, donc 5 ne le divise pas.
4. Essaie 7. Comme 7 × 13 = 91, le nombre 91 n'est pas premier.

97 est-il premier ? Il est impair, la somme de ses chiffres est 16, et il ne se termine pas par 0 ou 5. La division donne 97 ÷ 7 = 13, reste 6. Le nombre premier suivant est 11, et 11 × 11 = 121 dépasse déjà 97. Tu peux t'arrêter là, donc 97 est premier.

Pourquoi tu peux t'arrêter tôt

Les diviseurs vont par paires. Pour 36, les paires sont 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 et 6 × 6. Dans chaque paire, l'un des deux diviseurs vaut 6 ou moins, car 6 × 6 = 36. Donc si tu ne trouves aucun diviseur jusque-là, il n'y en a pas non plus au-delà.

Les filtres rapides

• Si un nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, il est divisible par 2. Seul 2 lui-même est premier.
• Si la somme des chiffres est un multiple de 3, le nombre est divisible par 3. Seul 3 lui-même est premier.
• Si un nombre se termine par 0 ou 5, il est divisible par 5. Seul 5 lui-même est premier.
• Pour 7, fais simplement la division.

La rapidité vient de l'habitude de voir beaucoup de nombres. Une fois que les filtres te sont familiers, quelques manches à repérer les nombres premiers contre la montre dans Math Max en font un réflexe, car chaque bonne réponse est une attaque contre l'autre combattant. Le jeu est gratuit dans le navigateur, il n'y a donc rien à installer.

Quels nombres ont l'air premiers mais ne le sont pas ?

Les pièges classiques sont 51, 57 et 91. Ils sont impairs, ne se terminent pas par 5 et donnent l'impression d'être premiers. Pourtant, 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 et 91 = 7 × 13. La plupart des nombres pièges sont démasqués par le critère de divisibilité par 3 ou par une division rapide par 7.

Exemple

• 39 = 3 × 13. La somme de ses chiffres est 12, un multiple de 3.
• 51 = 3 × 17. La somme de ses chiffres est 6, un multiple de 3.
• 57 = 3 × 19. La somme de ses chiffres est 12, un multiple de 3.
• 87 = 3 × 29. La somme de ses chiffres est 15, un multiple de 3.
• 91 = 7 × 13. La division par 7 le démasque.
• 119 = 7 × 17. La division par 7 le démasque.
• 133 = 7 × 19. La division par 7 le démasque.

Même les experts se font piéger

Le nombre 57 est surnommé pour rire le « nombre premier de Grothendieck », d'après une anecdote selon laquelle le célèbre mathématicien Alexander Grothendieck l'aurait un jour utilisé comme exemple de nombre premier.

Quand le blog de maths The Aperiodical a analysé les résultats d'un jeu en ligne appelé « Is this prime? », 51 a été pris pour un nombre premier encore plus souvent que 57. Beaucoup de joueurs ont aussi dit que 39 était premier. Le nombre premier le plus souvent pris à tort pour un nombre composé était 59, donc les erreurs vont dans les deux sens.

Deux faux raccourcis causent la plupart de ces erreurs. Le premier, c'est « les nombres impairs sont premiers », ce que 9, 15 et 21 contredisent. Le second, c'est « les nombres qui se terminent par 1, 3, 7 ou 9 sont premiers », mais ces terminaisons excluent seulement 2 et 5 comme diviseurs.

Les nombres premiers jusqu'à 100

En cas de doute, vérifie dans la liste. Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

La liste ne s'arrête jamais, car le mathématicien grec de l'Antiquité Euclide a démontré qu'il existe une infinité de nombres premiers.

Deux diviseurs différents, c'est toute la règle

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs différents, et 1 n'en a qu'un, donc 1 n'est pas premier. La même règle explique pourquoi 2 est premier et pourquoi 0 ne l'est pas. Pour vérifier rapidement un nombre, teste les petits nombres premiers, arrête-toi à la racine carrée et méfie-toi des pièges comme 51 et 91.