Volgorde van bewerkingen, van PEMDAS tot Meneer Van Dale

Hoe pas je de volgorde van bewerkingen stap voor stap toe?

Met de volgorde van bewerkingen werk je een som in vier rondes af. Eerst reken je uit wat tussen haakjes staat, dan de machten, dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts, en helemaal als laatste optellen en aftrekken van links naar rechts. Schrijf na elke ronde de hele regel opnieuw op, dan vind je een fout later makkelijk terug.

Voorbeeld

Bereken 3 + 4 × (6 − 2)² : 8.

1. Haakjes: 6 − 2 = 4, dan houd je 3 + 4 × 4² : 8 over
2. Machten: 4² = 16, dan houd je 3 + 4 × 16 : 8 over
3. Vermenigvuldigen en delen, van links naar rechts: 4 × 16 = 64, dan 64 : 8 = 8, dan houd je 3 + 8 over
4. Optellen en aftrekken: 3 + 8 = 11

De regel opnieuw overschrijven voelt traag. Toch is het de beste bescherming tegen fouten. Een veelgemaakte fout is om aan het begin de 3 en de 4 op te tellen. Dan krijg je 7 en is het eindantwoord fout.

Gaat vermenigvuldigen bij PEMDAS voor delen?

Nee. Vermenigvuldigen en delen staan op hetzelfde niveau, en optellen en aftrekken ook. Binnen elk paar ga je gewoon van links naar rechts. PEMDAS zet de M alleen voor de D omdat een woord zijn letters nu eenmaal in een bepaalde volgorde moet zetten. De letters als een vaste rangorde zien is een van de meest gemaakte fouten bij de volgorde van bewerkingen.

Voorbeeld

Bereken 24 : 4 × 2.

1. Van links komt eerst het delen: 24 : 4 = 6
2. Dan het vermenigvuldigen: 6 × 2 = 12

Vermenigvuldig je eerst, dan krijg je 24 : 8 = 3, en dat is fout. Bij optellen en aftrekken werkt het net zo. In 10 − 4 + 3 geeft van links naar rechts rekenen 6 + 3 = 9. Eerst optellen geeft 10 − 7 = 3, ook fout.

Het gratis lesboek OpenStax Prealgebra 2e zegt het duidelijk. Vermenigvuldigen en delen doe je op volgorde van links naar rechts, omdat ze even zwaar wegen. Veel volwassenen herinneren zich dat detail niet meer van school, en het zit achter veel online discussies over rekenpuzzels.

Wat is het verschil tussen PEMDAS, BODMAS en BIDMAS?

In de regels is er geen verschil, alleen in de woorden. PEMDAS begint met P van parentheses, BODMAS en BIDMAS beginnen met B van brackets, allebei Engelse woorden voor haakjes. E (exponents), O (orders) en I (indices) betekenen allemaal machten en wortels. Elke versie zet vermenigvuldigen en delen op één niveau, en optellen en aftrekken op het volgende.

Voorbeeld

Bereken 2 + 3 × 4² met elke versie in je achterhoofd.

1. Eerst de macht: 4² = 16
2. Dan vermenigvuldigen: 3 × 16 = 48
3. Dan optellen: 2 + 48 = 50

BODMAS schrijft toevallig D voor M, en PEMDAS M voor D. Allebei geven ze hier 50, en de twee versies geven bij elke som hetzelfde antwoord. Blijft de volgorde van de letters verwarrend, dan helpt het om de regel op te schrijven als vier niveaus in plaats van zes letters: haakjes, machten, keer of gedeeld door, plus of min.

Waarom hebben we een volgorde van bewerkingen nodig?

Zonder afgesproken volgorde kan een regel als 2 + 3 × 4 twee verschillende dingen betekenen. Tel je eerst op, dan krijg je 20. Vermenigvuldig je eerst, dan krijg je 14. De afspraak is dat vermenigvuldigen eerst komt, dus het antwoord is 14. Het doel van de regel is gewoon dat iedereen die dezelfde som leest op hetzelfde antwoord uitkomt.

Voorbeeld

Een vriendin koopt 3 schriften van 4 munten per stuk en één pen van 2 munten. Het totaal is 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 munten. Eerst optellen zou 5 × 4 = 20 geven, alsof de pen vier keer was gekocht.

De afspraak is veel ouder dan de afkortingen. Volgens MacTutor, het archief voor wiskundegeschiedenis van de University of St Andrews, was vermenigvuldigen voor optellen en aftrekken al de regel in de vroegste boeken over symbolische algebra, in de 16e eeuw. Dezelfde pagina citeert een historicus die eind jaren 1920 schreef dat er nog steeds geen overeenstemming was over de vraag of ÷ of × eerst moest komen.

Wat is het antwoord op 8 ÷ 2(2 + 2)?

Volg je de volgorde van bewerkingen zoals die op school wordt geleerd, dan geeft 8 ÷ 2(2 + 2) als antwoord 16. In een Nederlands schrift staat dit meestal als 8 : 2(2 + 2). De haakjes komen eerst en geven 4. De 2 die direct voor de haakjes staat, betekent keer, en delen en vermenigvuldigen gaan van links naar rechts, dus 8 : 2 × 4 = 4 × 4 = 16.

Voorbeeld

Hier staan de twee lezingen naast elkaar.

1. Van links naar rechts: 8 : 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Met 2(2 + 2) als één blok: 8 : (2 × 4) = 8 : 8 = 1

Het echte probleem is hoe de som is opgeschreven. Een notitie op de website van de wiskundeafdeling van Berkeley wijst erop dat er voor zulke uitdrukkingen geen standaardafspraak bestaat, omdat een getal dat direct tegen haakjes staat suggereert dat die twee bij elkaar horen. Wiskundigen vermijden de hele discussie met extra haakjes: (8 : 2)(2 + 2) of 8 : (2(2 + 2)).

Een breukstreep groepeert op dezelfde manier. Staat 6 + 4 boven een breukstreep en 2 eronder, dan tel je eerst op, dus het antwoord is 10 : 2 = 5.

Wat zijn de meest gemaakte fouten bij de volgorde van bewerkingen?

De meeste fouten ontstaan doordat mensen de afkorting lezen als zes losse stappen in een vaste volgorde. Daardoor gaan ze vermenigvuldigen voor delen of optellen voor aftrekken. Andere missers zijn vergeten dat een breukstreep groepeert wat erboven en eronder staat, en een negatief getal kwadrateren zonder de haakjes. Als je de regel na elke stap opnieuw opschrijft, vang je de meeste ervan op.

De fouten die steeds terugkomen

• Vermenigvuldigen voor delen. In 24 : 4 × 2 ga je van links naar rechts: 6 × 2 = 12.
• Optellen voor aftrekken. In 10 − 4 + 3 ga je van links naar rechts: 6 + 3 = 9.
• Een negatief getal kwadrateren. −3² betekent −(3²) = −9, maar (−3)² = 9. De haakjes bepalen of het minteken mee gekwadrateerd wordt.
• Beginnen bij de buitenste haakjes. In 2 × [5 + (3 − 1)²] begin je binnenin: 3 − 1 = 2, dan 2² = 4, dan 5 + 4 = 9 en tot slot 2 × 9 = 18.
• De breukstreep negeren. Reken eerst de teller en de noemer elk apart uit, en deel daarna.

Hoe kun je de volgorde van bewerkingen oefenen?

Korte sommen, vaak herhaald, zijn de beste manier om deze regel te oefenen. In het spel over de volgorde van bewerkingen is elke aanval een gemengde som zoals (5 + 3) × 7. Je rekent de haakjes uit, vermenigvuldigt en typt 56 om je aanval raak te laten zijn.

Machten remmen veel mensen af, vooral met negatieve getallen. Loop je daar vast, probeer dan eerst het spel over machten. Daarna gaan langere sommen met machten een stuk makkelijker.

De naam van de regel hangt af van waar je hem leert. In de VS is het PEMDAS en in het Verenigd Koninkrijk BODMAS of BIDMAS. In Nederland leer je het ezelsbruggetje Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord, maar de regel eronder is overal hetzelfde.

Eén gedeelde regel betekent dat iedereen hetzelfde antwoord krijgt

De volgorde van bewerkingen is een afspraak, geen natuurwet, en ze werkt alleen omdat iedereen dezelfde gebruikt. Eerst haakjes, dan machten, dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts, dan optellen en aftrekken van links naar rechts. Kan een som nog steeds op twee manieren worden gelezen, zet er dan haakjes bij en de discussie is voorbij.