Les priorités opératoires, la règle derrière PEMDAS et BODMAS

Comment appliquer les priorités opératoires étape par étape ?

Avec les priorités opératoires, on traite un calcul en quatre passages. On commence par ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions de gauche à droite, et en dernier les additions et les soustractions de gauche à droite. Recopiez toute la ligne après chaque passage, ainsi une erreur sera facile à repérer ensuite.

Exemple

Calculez 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.

1. Parenthèses : 6 − 2 = 4, il reste 3 + 4 × 4² ÷ 8
2. Puissances : 4² = 16, il reste 3 + 4 × 16 ÷ 8
3. Multiplications et divisions, de gauche à droite : 4 × 16 = 64, puis 64 ÷ 8 = 8, il reste 3 + 8
4. Additions et soustractions : 3 + 8 = 11

Recopier la ligne paraît lent. C'est pourtant la meilleure protection contre les erreurs. Une erreur classique consiste à additionner le 3 et le 4 dès le début. On obtient 7, et le résultat final est faux.

La multiplication passe-t-elle avant la division ?

Non. La multiplication et la division sont au même niveau, tout comme l'addition et la soustraction. Dans chaque paire, on avance simplement de gauche à droite. Si PEMDAS place le M avant le D, c'est seulement parce qu'un mot doit bien ranger ses lettres dans un certain ordre. Prendre ces lettres pour un classement strict est l'une des erreurs les plus fréquentes avec les priorités opératoires.

Exemple

Calculez 24 ÷ 4 × 2.

1. En partant de la gauche, la division vient en premier : 24 ÷ 4 = 6
2. Puis la multiplication : 6 × 2 = 12

Si l'on multiplie d'abord, on obtient 24 ÷ 8 = 3, ce qui est faux. L'addition et la soustraction fonctionnent de la même façon. Dans 10 − 4 + 3, de gauche à droite on obtient 6 + 3 = 9. En additionnant d'abord, on trouve 10 − 7 = 3, faux aussi.

Le manuel gratuit OpenStax Prealgebra 2e le dit clairement. Les multiplications et les divisions se font dans l'ordre, de gauche à droite, car elles ont la même priorité. Beaucoup d'adultes ont oublié ce détail appris à l'école, et il est à l'origine de nombreux débats en ligne autour des énigmes mathématiques.

Quelle est la différence entre PEMDAS, BODMAS et BIDMAS ?

Aucune pour les règles, seulement pour les mots. PEMDAS commence par P pour parentheses, alors que BODMAS et BIDMAS commencent par B pour brackets, deux mots anglais qui désignent les parenthèses. E (exponents), O (orders) et I (indices) désignent tous les puissances et les racines. Toutes les versions placent la multiplication et la division sur un même niveau, puis l'addition et la soustraction sur le niveau suivant.

Exemple

Calculez 2 + 3 × 4² en pensant à chaque version.

1. D'abord les puissances : 4² = 16
2. Puis la multiplication : 3 × 16 = 48
3. Puis l'addition : 2 + 48 = 50

BODMAS écrit le D avant le M, et PEMDAS le M avant le D. Les deux donnent 50 ici, et les deux versions donnent le même résultat dans tous les calculs. Si l'ordre des lettres sème toujours le doute, il peut être utile d'écrire la règle en quatre niveaux plutôt qu'en six lettres : parenthèses, puissances, multiplier ou diviser, additionner ou soustraire.

Pourquoi a-t-on besoin de priorités opératoires ?

Sans ordre convenu, une ligne comme 2 + 3 × 4 pourrait vouloir dire deux choses différentes. En additionnant d'abord, on obtient 20. En multipliant d'abord, on obtient 14. La convention dit que la multiplication passe en premier, donc la réponse est 14. Le but de la règle est simplement que tous ceux qui lisent le même calcul trouvent le même résultat.

Exemple

Une amie achète 3 cahiers à 4 pièces chacun et un stylo à 2 pièces. Le total vaut 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 pièces. Additionner d'abord donnerait 5 × 4 = 20, comme si le stylo avait été acheté quatre fois.

La convention est bien plus ancienne que les acronymes. D'après MacTutor, les archives d'histoire des mathématiques de l'université de St Andrews, faire la multiplication avant l'addition et la soustraction était déjà la règle dans les premiers livres d'algèbre symbolique, au 16e siècle. La même page cite un historien qui écrivait à la fin des années 1920 qu'il n'y avait toujours pas d'accord pour savoir si ÷ ou × devait passer en premier.

Combien fait 8 ÷ 2(2 + 2) ?

Si l'on suit les priorités opératoires telles qu'on les enseigne, 8 ÷ 2(2 + 2) donne 16. La parenthèse passe en premier et donne 4. Le 2 écrit juste devant la parenthèse indique une multiplication, et la division et la multiplication se font de gauche à droite, donc 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16.

Exemple

Voici les deux lectures côte à côte.

1. De gauche à droite : 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Avec 2(2 + 2) comme un seul bloc : 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1

Le vrai problème, c'est la façon dont le calcul est écrit. Une note sur le site du département de mathématiques de Berkeley souligne qu'il n'existe pas de convention standard pour ce genre d'expression, car un nombre collé à une parenthèse donne l'impression que les deux vont ensemble. Les mathématiciens évitent tout le débat en ajoutant des parenthèses : (8 ÷ 2)(2 + 2) ou 8 ÷ (2(2 + 2)).

Un trait de fraction regroupe les termes de la même façon. Si 6 + 4 est écrit au-dessus d'un trait de fraction et 2 en dessous, on additionne d'abord, donc la réponse est 10 ÷ 2 = 5.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec les priorités opératoires ?

La plupart des erreurs viennent d'une lecture de l'acronyme comme six étapes séparées dans un ordre fixe. On finit alors par multiplier avant de diviser, ou par additionner avant de soustraire. Il arrive aussi d'oublier qu'un trait de fraction regroupe ce qui est au-dessus et en dessous, ou d'élever au carré un nombre négatif sans ses parenthèses. Recopier la ligne après chaque étape permet de repérer la plupart de ces erreurs.

Les erreurs qui reviennent sans cesse

• Multiplier avant de diviser. Dans 24 ÷ 4 × 2, on va de gauche à droite : 6 × 2 = 12.
• Additionner avant de soustraire. Dans 10 − 4 + 3, on va de gauche à droite : 6 + 3 = 9.
• Élever un nombre négatif au carré. −3² signifie −(3²) = −9, mais (−3)² = 9. C'est la parenthèse qui décide si le signe moins est élevé au carré.
• Commencer par le crochet extérieur. Dans 2 × [5 + (3 − 1)²], on commence à l'intérieur : 3 − 1 = 2, puis 2² = 4, puis 5 + 4 = 9, et enfin 2 × 9 = 18.
• Ignorer le trait de fraction. Calculez d'abord le numérateur et le dénominateur séparément, puis divisez.

Comment s'entraîner aux priorités opératoires ?

Des calculs courts et fréquents sont le meilleur moyen de s'entraîner à cette règle. Dans le jeu sur les priorités opératoires, chaque attaque est un calcul mélangé comme (5 + 3) × 7. Vous calculez la parenthèse, vous multipliez, puis vous tapez 56 pour réussir l'attaque.

Les puissances ralentissent beaucoup de monde, surtout avec les nombres négatifs. Si c'est là que vous bloquez, essayez d'abord le jeu sur les puissances. Ensuite, les calculs plus longs avec des puissances deviennent plus faciles.

Le nom de la règle dépend de l'endroit où on l'apprend. Aux États-Unis, c'est PEMDAS, et au Royaume-Uni, BODMAS ou BIDMAS. En France, on parle tout simplement des priorités opératoires, et la règle est la même partout.

Une seule règle commune pour que tout le monde trouve le même résultat

Les priorités opératoires sont une convention, pas une loi de la nature, et elles ne fonctionnent que parce que tout le monde utilise la même. D'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions de gauche à droite, puis les additions et les soustractions de gauche à droite. Quand un calcul peut encore se lire de deux façons, ajoutez des parenthèses et le débat est clos.